2.11　选择可靠的均值

数据驱动的决策，比如判断自己在新城市是否买得起房，或者在生意上校准核心市场，总要依赖“均值”作为对大数据集的最好描述。问题是，有三种完全不同的值都可以被称作“均值”，而且它们往往导致不同的决策。所以，在决策中要注意选用正确的均值。

大多数人听到“这个镇里的平均房价是29万美元”（你可能觉得这一价格水平很便宜，也可能觉得很贵或者适中，这取决于你在哪个地方安家），他们会认为这个数字是通过加总镇上所有房屋的销售价，再除以房屋总数而算出的。但是统计学家知道，计算“均值”的方法不止一种，有时候其中一种比另外一种更好一些。

29万美元的价格是否真正代表了典型房价，取决于这个均值究竟是平均数、中位数还是众数。它同样取决于所有平均数据的分布形状。聪明人会确保决策中使用的是最佳汇总值。以下讨论的是每种均值的信任场合。

2.11.1　趋中趋势的度量

计算一组值的均值，无论它们具体是房价、期末考试分数，还是上瑜伽课的学生数量，目的都是为了有效传达这些值的趋中趋势。的确，大多数时候，趋中趋势是通过加总分布中的所有值，再除以这些值的数量之和确定的。然而统计学上并不把这个称作均值，而是称作平均数。那么，为什么不总是用平均数来计算趋中趋势呢？因为在一些情况下，平均数不能代表任何真实值！

请考虑本节开头提到的房屋均价的例子。假设你收集了镇上300所房屋的数据，想要计算这个样本中的平均售价。一般来说，平均数不能很好地指示房屋价格的趋中趋势。原因见图2-5。

图2-5：平均数对均值的误导

在这种情况下，平均数不是非常可靠的均值，因为销售价格的分布被一些偏离中心的极大值所歪曲。在由300所房屋组成的样本里，231所房屋的售价介于10万美元到60万美元之间。剩下的69所房屋，售价在60万美元以上，其中56所超过了100万美元。平均数受到这些极大值的严重影响，因此无法代表样本中的任一房屋。

在大多数以金钱作为变量的情况下，都不太适合以平均数作为均值。依据平均数报告的平均收入指标总是高于大部分人的收入水平。因为总有少数像比尔·盖茨和J. K. 罗琳这样的人，会把平均数拉高。

那么，对这种类型的值，什么才是“有效的平均”？对于类似图2-5中的分布，可靠的统计学家倾向于报告中位数，而不是平均数。中位数是在分布中处于中间位置的值，即整个分布中有一半的值低于它，另外一半的值高于它（就好比高速公路中央的那条线，把路面分成两半）。在这个例子中，数据分布的中位数恰好是29万美元，因此它能很好地度量趋中趋势。

2.11.2　选择中间地带

中位数在这些情况下表现不错，因为与平均数相比，它对极端值的敏感性要低得多，因此当分布是正偏态分布或负偏态分布时，统计人员更倾向于采用中位数。故而，当分布被一些远远小于其他值的极端值所歪曲时（如图2-6所示，此例为包括50个学生测验分数的虚拟集合），中位数也被视作最“有效”的趋中趋势度量。

图2-6：中位数是对趋中趋势的最有效度量

图2-6显示了另外一种类型的数据，在这种情况下使用平均数可能导致错误的结论。以中位数作为度量，可以对班级分数得出更加准确的解释。

2.11.3　不适用领域

但是，即便是中位数也并不总是有效。考虑下面这种情景：假设你是一名瑜伽教练，你班里一半的学生年龄介于25岁至35岁之间，另外一半介于50岁至60岁之间。你会怎么描述学生的平均年龄？

像这种情况下的问题在于，无论平均数还是中位数都无法恰当描述这些个体构成的群组。那该怎么办？在这种情况下，最有效的均值选择是报告众数，也就是在数据样本中出现最多的值，如图2-7所示。

图2-7：作为最有效均值的众数

在这种情况下，有两个众数：一个是30岁，另外一个是54岁。一并报告这两个数值就是选择最有效均值的最佳方式。对于这种类型的数据，平均数和中位数都会形成误导。

2.11.4　如何选择有效均值

那么，什么时候平均数是有效均值？基本而言，当只有一个众数并且呈对称分布（意味着两端任意一个方向上都没有明显的歪曲）的时候，平均数是最佳的选择。如果你瑜伽班上的学员都是25岁到35岁，那么平均数便会是有效均值。

归根到底，应当如何选择最合适的均值呢？当你在报告汇总值的时候，遵循下面三条简单的原则，可以保证均值有效。如果你是基于这些数据做出决策的人，遵循这三条原则同样会让你作出有根据的选择。

• 如果数据中存在两个或更多的“趋势”（即两块或两块以上高频值区域），那么选择众数，并报告每个趋势的众数。
• 如果分布是偏态的（即一小部分极端值严重影响着平均数），那么选择中位数。
• 如果分布非常对称，且只有一个众数，那么选择平均数。

注意在大多数情况下，平均数、中位数和众数三者会非常接近，这很有趣。那么为什么要采用平均数呢？平均数始终是报告均值最常用的方式，因为如果我们想要获取另外一个样本数据并观察其趋中趋势，平均数更易于复制。中位数和众数的可变性较强，而平均数则比较友好和稳定。

——威廉·斯科朗普斯基