4.14　永远不要相信一枚诚实的硬币

在通常世俗统计的世界里，所有的神圣事物中，没有什么比旋转一枚诚实的硬币更可信了。无论是正面还是反面，几率都是50%，对不对？显然令人不安的答案是：不是50%！

对几率以及运作原理的基本解释，几乎总是包含一个简单的抛硬币或旋转硬币的例子。“正面你赢；反面我赢。”是解决各种纠纷的通常方法，二项分布[Hack #66]通常作为随机硬币结果的样式来描述和讲授。 但事实证明，如果你旋转硬币，尤其是一枚全新的硬币，反面朝上的次数可能比正面朝上的次数多。

4.14.1　闪耀的新便士

你知道一枚全新的一分钱的外观和感觉，对吧？它是如此明亮，以至于看起来很假。它的细节是如此丰富，它的边缘是如此锋利，因此你要小心，不要割伤自己。

好了，给自己准备一枚明亮、尖锐的小硬币，将它旋转100次左右。收集正面和反面的结果数据，准备震惊吧，因为出现反面的次数很可能会超过50次。如果我们对硬币公平性的理解是正确的，那么一枚硬币出现反面的几率是一半。（大声说最后一句，这样它更有意义。）但是，新便士不是这样的。

新硬币，至少新便士，往往有一个清晰的边缘，实际上在反面有点长或有点高（便士的反面比正面刻的要深一点）。图4-4给出了边缘看起来如何的概念。如果旋转这样一个形状物体，朝上的面往往会是长边。

图4-4：旋转新便士

想象一下，旋转一个从啤酒或苏打汽水上取下的瓶盖。它不但不会转得这么好，而且你也不会因为看到它锋利面朝上而感到惊讶。新便士的形状有点像一个瓶盖，只是没有那么不对称。不过，就凭这点小小的锋利，如果旋转很多次，反面的优势就会体现出来。

4.14.2　二项式期望

可能存在的瓶盖效应提出了一个可检验的假说：

旋转一个刚铸造的便士，反面朝上的概率大于50%。

当然，几次旋转后，我们可能发现一枚硬币反面朝上的次数多于正面，或许这只是偶然，不能真的证明什么。我们知道，在小样本中出现某结果的概率不代表样本抽取总体的属性。

我们旋转硬币的例子应该代表无限次的硬币旋转。如果我们旋转硬币100次，发现51次是反面朝上，对我们的假设来说，这是可以接受的证据吗？也许不是；也无法解释0.50的比例。52次反面呢？一百万次旋转有52%的反面呢？

统计学再次来援救，并为我们的实验成果提供一个判断标准。我们从二项式分布知道，理论上一枚公平的硬币（没有不平衡的古怪的边）在100次旋转中，42%的时间产生51次或更多的反面。守旧派统计程序要求一个结果必须有5%或更低的出现几率，才被视为统计显著——不太可能是偶然发生的。因此，我们可能不会把100次旋转后，51%的反面出现作为对我们假设的支持。

另一方面，如果我们不断地旋转硬币6774次，得到了51%的反面，那随机发生的概率只有5%。这一结果的显著性水平为0.05。表4-19显示当预期的结果是反面的可能性为50%时，偶然获得某个比例反面的可能性。如果与这个预计比例的偏差有统计学意义，那么可以将它们视为支持我们假说的证据。

表4-19：硬币旋转和某个结果的概率

请注意，这种分析能力真的会随着样本容量变大而增加[Hack #8]。如果你旋转硬币500次或1000次，只需要预期的小幅波动，就可以支持你的假设。而对于100次旋转，你需要看到反面的比例等于或高于0.58，这样才能证明新铸的便士确实有反面优势。

观测比例和预期比例的距离表示为z分数[Hack #26]。下面是计算z分数和生成表4-19中数据的公式：

分配的概率是正态曲线下的区域，仍然高于z分数。

4.14.3　无效领域

一旦你向自己证明，反面优势是真实的，那在你跑去赢得各种疯狂的赌注之前听一下我的提醒。你必须旋转硬币！不要弹它。跟我说：旋转，请不要用手指弹。

4.14.4　参阅

一个有趣的网站提出“瓶盖效应”（bottle-cap effect）这一术语，并包含了对硬币反面高出的边缘的热烈讨论。该网站由加里·莱姆希（Gary Ramseyer）博士维护：http://www.ilstu.edu/~gcramsey/。