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移除书签5.11 通过几率估计圆周率
统计学家认为任何重要的东西都可以使用统计数据来发现。这可能是正确的，因为事实证明你可以使用统计信息来估计科学中最重要的基础值之一：圆周率。
计算圆周率是所有崭露头角的天才的常规技能之一。比如，我记住的22除以7的结果就非常接近准确值。还有多种计算方法，其中一些比其他的更为精确。不过，我最喜欢的方法，是采用几率和漫长的、寂寞的海上航行或其他强制的孤独时间等元素。好奇吧？继续往下读吧。
在展示如何估计圆周率值之前，我将以介绍几个基本的几何事实来开始我们的讨论。不要恐慌，我对几何懂的不是很多，所以我们不会在这上面花很多时间。我只会大致讲解一些基础知识，使我们能了解这个技艺的魔力。
5.11.1 圆周率
在几何里，圆周率是一个值大概为3.141 59的数（用π这个符号表示），人们已经发现圆周率和圆形的不同部分之间的关键关系，如图5-6所示。
图5-6：计算圆周率
例如，如果你用圆的直径乘以圆周率，你会得到圆的周长。如果你把圆的半径平方，再乘以圆周率，你会得到圆的面积。
也许，这都很酷，但这是那些喜欢几何的人的主要兴趣，不是统计学家的主要兴趣。但只要等一等。
5.11.2 圆周率和落针
在1700年，乔治路易·勒克莱尔（Georges-Louis Leclerc）向全世界提出了半几何/半统计的难题。他被称为布冯伯爵，或有诸如此类的称号，所以这个问题被称为布冯投针问题（Buffon's Needle Problem）。他提出了个大概，没有细节，我在这里总结一下。
想象一下，一个针头随机落在两条平行的水平线上。两条线之间的距离远大于针的长度。针落在其中一条线上的几率是多少？
有些问题你第一次听到时觉得不可能解决，这个问题就是其中之一，但它是可以解决的。没有必要在这里花费时间计算最终结果，但我肯定能做到这一点，我向你保证。真的，我可以。真的。解决方案涉及一些几何知识，它考虑到了两个关键的信息成分。任何给定的随机落点位置的关键在于：
- 针的中心距离最近的水平线多远；
- 针和最近水平线的垂直线的夹角是多少度。
用这两个信息定义针的随机位置形成了一些有助于简化问题的通用观察。
- 如果针的中心正好在一条水平线上，那么不管它的角度如何，针总是触碰到那条线。
- 如果针的中心足够接近水平线，距离小于针长度的一半，那么针有时会触碰到线。针的角度决定了针是否会触碰到线。
- 如果针的中心踞线的距离超过针一半的长度，那么不管针的角度如何，针永远不会触碰到线。
- 针越接近平行线，针碰到那根线的几率就越大。
所有可能的落针位置可以绘制为一条曲线，展示所有可能的与线的距离以及所有可能的与垂直线的角度。图上有三角函数，数学家们已经用下面的等式定义了这样的曲线：
这是问题的答案。让我们赶快用一些真实的数字试试吧，只是为了验证Leclerc的工作。想象一根3英寸长的针随机掉落在缝纫台上，台上有两根距离为4英寸的平行线。
针碰到其中一根平行线的几率是多少？以下是必要的计算：
针碰到其中一根线的几率约为48%。
当你想到一个地板上满是落针和线的大房间时，你的赌博之心是不是蠢蠢欲动了。去吧，给你更多的力量。这一法则已经在一些你可能见过的嘉年华游戏里生效了。有没有注意到，那些乒乓球落入鱼缸或者足球通过铁环的次数是多么稀少？
5.11.3 概率和圆周率
我保证你可以使用几率来估计圆周率，不过，不是使用圆周率来计算几率。数学的力量使得我们能够移动等式中的任何元素，所以等号右侧的任何元素符号都可以被移动到左侧。我们可以像这样移动我们的概率公式计算圆周率：
我会使用我们测试这个概率等式时用的数字来证明其有效性。我们已经知道圆周率的正确答案是什么了，那么让我们来看看公式是否生效：
该公式计算的圆周率的值为3.144 7，这相当接近3.141 59。如果我们允许我们的数字有更多的小数位，那我们可能会有一个更准确的答案。
5.11.4 使用概率估计圆周率
在我们的例子中，我们知道概率，所以我们可以利用这个信息来计算圆周率。但是，如果你不知道圆周率，却需要计算它的时候呢？如果你被困在一个荒岛上，或长时间在海上航行或一条腿骨折躺在床上，无法获得关于圆周率准确值的相关参考资料？进一步讲，假设你需要使用圆周率计算圆的周长或球的体积，或者计算几何、金融、物理中任何的值。一场噩梦，对吗？你可以使用这个公式，只需进行一场实验并收集数据，就能相当准确地计算圆周率。
用两条水平线设立一个区域，撒一些针，并保持跟踪。测量平行线间的距离以及针的长度，剩下的繁重工作就交给几率吧。从很多落针收集大量的数据样本，得到精确到小数点后几位的概率，也许约有一千次落针。祝你好运，继续认真记录。
比方说，你画两条距离为8英寸的平行线，使用约7英寸长的编织针。如果使用这样的设备进行了大量落针实验，你可能会发现针触碰到线的几率介于50%~60%。假如说，是55%。要使用这个数据来计算圆周率，你将像这样运用数学：
你会发现，3.18这个值非常接近图5-6所示的周长和直径之比。
如果你的视力不如从前，就没有必要使用难以看见的针。你可以使用相同的逻辑，让一支铅笔落在你的办公桌上，或将弹珠滚动到一个定义好的区域内，或让跳伞者降落在一个长方形的目标内。你需要两条平行的线，两条让铅笔、弹珠或跳伞者可以有机会降落进去的线，还有你需要知道物品的长度。只要结果是随机的，什么物品都可以，找到降落在草垛上的跳伞者比找到一根针更容易。
