爱因斯坦关于万有引力的相对论

坎宁安

编者按

阿瑟·爱丁顿最近宣布，他在日食期间对星光偏转的测量明确地证实了爱因斯坦的广义相对论。在这篇文章中，埃比尼泽·坎宁安简单描述了爱因斯坦的理论。爱因斯坦在1905年就已经建立了惯性和能量之间的联系，他现在的工作主要是考查重力是否也有可能与能量相关联。坎宁安指出，这个理论说明了这样一个观点：虽然不存在衡量空间间隔和时间间隔完全相等的绝对标准，但可以设计无限多种方式以保证多个物理事件的等同性。他说，爱因斯坦利用黎曼、列维齐维塔和其他人的数学理论已经验证了这些结论。　　英文

I

在11月6日皇家学会和皇家天文学会共同举办的会议上宣布的日食观测结果，使得爱因斯坦关于万有引力的新理论受到了公众的广泛关注。这个理论在战争之前就已经被提出来了；它是在战争中极少数没有被丢到一边的纯科学工作之一；日食观测的准备工作在战争结束之前就已经着手进行了。　　英文

如果在试图理解这个新理论之前，我们就已经像日报上说的那样，认为牛顿在其面前也会黯然失色，那么最好首先回顾一下牛顿所做的工作。并不能说牛顿是第一个使用微分计算的人。有些议论认为这是莱布尼茨的首创。牛顿也不是第一个认识到惯性和力之间关系的人。这方面，肯定是伽利略首先对此进行了初步的设想。开普勒在很久以前就对万有引力有过模糊的猜想，但是，引力与距离平方成反比的规律是在该“原理”建立之前，由胡克首先发现的。牛顿所做工作的杰出之处在于，他把这么多松散的线索整合到了一起。行星运动（已被开普勒精确描述过）、日常生活中的落体运动、潮汐的涨落、地轴的进动以及在月球和行星运动中出现的许多小的不规则性——牛顿将所有这些现象都统一了起来。牛顿把所有这些都归入了一个包括力学三大定律和简洁的平方反比关系的基本框架中，也难怪在后来很长一段时间内，科学上的思索都停滞了。整个宇宙都看似简单而圆满。在后来至少一个世纪的时间里，除了在形式上发展一下牛顿力学，没有其他工作可做。在18世纪中叶，莫佩尔蒂暗示了一种新的物理学说。他不满足于认为宇宙是一个在某种确定的法则下永不停止、永不倒退的钟表。宇宙的运动一定是有目的的，一定有一种神圣的力量在支配着它的运动。因此，他提出了最小作用原理。但是人们很快发现这只不过是牛顿定律的一种新的外在形式而已，然后18世纪就这样结束了。　　英文

19世纪发生了重大的变化。在这个世纪末，电的时代到来了。人类要揭示原子中的秘密。太空也不再是有行星在其中运行的寒冷而空洞的广袤真空。宇宙中的每个部分都注满了运动着的能量。以太，而不是物质，才是最终的存在形式。物质实际上都是带电的。一个重大的问题摆在了当代人的面前：如何将新的电学理论和经典的牛顿力学原理统一起来。这样，最小作用原理就变得重要起来；因为它是新旧两种宇宙观相通的部分，在两者中，动能和势能之差的时间平均都应该取最小值。　　英文

物质的电学理论遇到的一个最主要的问题是，无法把万有引力引入到这个理论框架之中。在电学理论遵从平方反比定律的情况下，新兴的原子物理的蓬勃发展却被忽视掉了，电学独自向破解宇宙之谜的目标发起了挑战。电学理论力图说明物质的所有其他性质，而唯独将人们最为熟知的属性排除在外。它可以说清铜和玻璃之间存在差别的原因，但是不能解释它们共同的特性：重量。至此，以太学说也开始默默地销声匿迹了。　　英文

在牛顿的宇宙框架中最令人困扰的一点是：它无法与时空相对性的哲学学说达成一致。加速度在力学中是一个关键的量，它反映了物体运动状态的变化。但这并不意味着牛顿假设了空间中存在一个终极的参考系，一个物体的实际速度相对于这个参考系是唯一确定的，因为在他的理论中，任意一个质点的运动速度总可以加上一个常数速度。这种处理方法的严重缺陷是，当处理两个参考系的问题时，如果其中一个参考系相对于另一个做转动或者非匀速运动，那么前面所说的法则就不可能保持如此简单的形式。这样看来，如果牛顿是正确的，那么在空间中，“固定方向”是有意义的，但“固定位置”却没有任何意义。两者看似应该同时成立或者同时不成立，但是物理上的关系显然是有区别的。为什么会这样呢？我们还不知道。无论我们采用什么样的新理论，都要考虑到上面的问题。　　英文

当我们引入了以太的概念，用它来代替空无一物的空间时，问题看似得到了解决，尽管我们也许注意到，在传播这一概念的时候，一些哲学家，比如孔德，认为无限且无形的以太和绝对空间一样不合逻辑。但让我们先把这些看法抛在一边，物理学家们提出要测量所有相对于以太的平动和转动。唉！可惜以太却拒绝我们的测量。很快就出现了对这一难题的解释，但是这与能够用一种大家可以接受的方式来为以太辩解还有非常遥远的距离。无论如何，它们证明了这种科学想象的创造并不是唯一的，而是有很多种。我们渴望找到一种可以用来测量运动的永久标准，而以太的概念是非常失败的。问题和从前一样没有得到解决。还是战争之前由爱因斯坦于1905年总结出来的相对论解决了这个问题。物理学家们则强烈地抱怨爱因斯坦摒弃了他们的以太。　　英文

但是，我们不要以为后来提出的假说都是不正确的。这些假说明确地表明现有的许多观点需要修正，并且说明了修正的方向应该在哪里。尤其是它强调了一个事实：惯性不是物质的一个不会发生变化的基本属性，而应该被看作是随着能量的变化而变化的。我们要再次强调，能量是一个相对量。一个绝对量是独立不变的；它不依赖于观察者的体验和想象，这就是“作用”。当以太及与它相关的测量系统被选择作为大量作用中的任意一员时，它们都满足最小作用原理，并且作用量的总和不变。　　英文

但是，万有引力仍然没有被考虑进去，爱因斯坦正是从这个问题出发，现在已成功地获得了巨大的进展。如果能量和惯性是不可分割的，那么重力难道就不能建立在能量的基础之上吗？如果能量是一束具有动量的光束，那么它为什么不能有重量呢？　　英文

这样的想法是革命性的，尽管它还不够成熟。因为，如果这是可能的，那么它就意味着需要重新考虑光速不变性和普适性的假说。这个假说是尚不成熟的相对论的基本原则。但是如果它被质疑，如果光速只是因为我们通常的测量方法不够精确才大致不变，那么，被大家普遍接受的相对论法则就只是一种近似，就像它本身的系统一样。但这是对什么的近似呢？只能是对一种更加普遍的原理的近似。当消除了那种根本上的限制以后，原来的法则中还有没有什么东西可以保留下来呢？　　英文

就是在这个问题上，哲学家们批判了爱因斯坦早期的工作。对物理学家来说，这样的批评太偏激了。对哲学家来说，这种批评还远算不上严厉。爱因斯坦开始寻找一种彻底的时空相对论。他认为，除了完全重合之外，不存在衡量空间间隔和时间间隔完全相等的绝对标准。他只要求观察者观察到的事件的发生顺序和物体摆放的顺序不被打乱。在这个前提下，任何测量方法都将是可行的。这就好像我们可以用墨卡托投影法、心射切面投影法、立体投影法或者任何一种其他的方法去画地球，而没有人会说其中哪一种地图较之其他地图更准确。飞行员和海员使用任何一种地图都是安全可靠的。因此，也有很多方法可以标定时空中事件发生的顺序，每一种都描述了真实的情况，每一种都同样可信。　　英文

这样，爱因斯坦接下来就只需要解决那些数学上的问题了。他所需要的纯数学方法已经存在。绝对微分、微分不变量理论，这些都是已知的。大多数人经常研读的纯数学著作，如黎曼、克里斯托弗尔、里奇和列维齐维塔的著作，都为爱因斯坦提供了必要的数学工具。剩下的工作就是从那些方程和表达式中选出最接近数学物理的部分，并想办法把它们解出来。　　英文

II．理论的本质

第一篇文章旨在说明爱因斯坦的思考方法，从物理学的角度来看，简要的说明就是这样。牛顿明确地将万有引力和质量联系起来。电磁学理论表明，一个物体的质量并不是物质确定不变的内在属性。光能和热能当然都具有惯性，那么，它也会受到万有引力的影响吗？如果确实如此，确切的作用方式又是怎样的呢？厄缶的精确实验更表明了由其惯性所表示的物体质量同样受到万有引力的影响。　　英文

牛顿万有引力定律的描述要怎样修正才能符合关于质量的新观点呢？电磁学理论和战争前提出的相对论要怎样调整才能允许万有引力效应的存在呢？在解除了光速不变的约束之后，相对论原理会不会成为一种更加普遍且被相对性的哲学理论所接受的法则呢？或者说，另一方面，它会不会被证明完全不可行呢？　　英文

这里马上就引出了一个观点。彻底的相对论者只能对速度进行绝对测量，却不能对加速度进行绝对测量。然而，加速运动在万有引力场中会发生明显的变化；因此在任意地点，万有引力的测量值肯定都是相对的，它取决于测量者所选择的测量速度和加速度的方式。这是爱因斯坦的主要观点之一。在力学上，对所谓“离心力”和“万有引力”的解释通常是有区别的。前者是一个虚拟的力，仅仅表现了物体要做匀速直线运动的趋势。另一方面，万有引力被认为是一个真实的力，因为它和作用于物体的外界因素有关。　　英文

爱因斯坦让我们考虑，如果这种区别不是本质的，结果会怎样。这就是他所说的“等效原理”。它立刻就引出了这样的设想：一束光穿过万有引力场时会发生弯曲。一个在地球表面附近的观察者会看到物体远离自己落向地球。一般来说，他会把这归结为地球的引力。如果他和物体一起下落，那么他对万有引力的感觉就会消失。他的怀表不再压在衣袋底部，他的脚也不再压在靴子上。对于这位正在下落的观察者来说，他是观察不到万有引力存在的。如果他有时间观察和思考光的传播，那么按照等效原理，他将看不到光线的直线运动被万有引力所干扰。换句话说，一束沿水平方向传播的光线，将与观察者一起同时做垂直运动。因此，一个没有下落的观察者可以感觉到万有引力的存在，所以光线在向地球运动的过程中会发生弯曲。　　英文

就像前面提到的那样，要把这样一个想法系统地求解出来，需要大量的数学运算。这里我们所能做的只是用模糊的示意来说明这个原理，主要通过类比法。　　英文

把时间作为第四维并不是一个新的发现。每一个人在某种程度上都会把世界历史的一段时期当作一个整体来看待。在这样做的时候，时间段和空间段没有什么区别。在匆匆一瞥之中所有的东西都呈现到他面前要他去了解。他在仔细考虑一系列事件发生时间的同时，还要将它们和发生地点联系起来。比如，他能同时从时间顺序和疆域范围两方面来考虑大英帝国的扩张。所以可以这样说，他可以画一个地图，一个四维的地图，尽管不能画在纸上，但依然可以描述一系列事件。　　英文

让我们用我们所熟悉的二维地图进行类比。我们可以想象有一个描述世界上某个区域的地图，用来制作这个地图的材料可以不受物理限制，随意延展和扭曲以保持它的连续性。不管这种材料如何扭曲变形，它上面表示地点次序的连续直线依然保持连续，沿着这条直线各个地点的排列顺序不变。这种地图无法记录旅行的距离，但是它可以忠实地记录某些特定的事实，比如，伦敦位于英国境内，从伦敦到另一个地方——巴黎，不可能不跨越海洋。但是一般地图所具有的记录任意一小块地方的功能在这种地图中完全丧失了。　　英文

在地球表面从一地到另一地的最短路径是沿着大圆的路径；在普通的地图上，一系列的大圆，即经线，是用一系列的直线来表示的。初看起来，我们的可伸缩地图可以被拉伸开，这样，地球表面的所有大圆都可以呈直线。可事实并不是这样。我们可以把经线和另外一组由地球的另外一个直径确定的大圆表示成两组直线，但是这样做之后，所有其他的大圆就只能表示为曲线了。　　英文

将上述观点扩展到四维时空，就构成了爱因斯坦的基本概念。我们通常认为在没有万有引力的世界里，自由粒子将永远静止或者做匀速直线运动。我们可以想象一下，在四维的地图中，粒子的历史被记录为一条直线。如果这个粒子是静止的，那么这条直线就平行于时间轴，否则就是倾斜的。现在，如果地图以任意方式被拉伸，那么粒子的路径就不再被表示为直线。如果我们能接受可伸缩地图作为表征事实的方式，就可以把这些弯曲的路径看作是“万有引力场”的证据，但是，这种引力场也可以马上被解释成是由这种特殊的表示方法造成的，因为所有路径都可以变成直线。　　英文

但是类似的二维地图告诉我们，没有任何一种变形方式可以使所有记录自由粒子历史的线都同时呈直线；关于这一点，纯数学可以给出它在几何学上的精确证明，还可以给出表达式，用来度量那些不可消除的弯曲。天才的黎曼和克里斯托弗尔给出了我们所需的微积分算法。　　英文

现在，爱因斯坦认为，无法消除的弯曲表示物质的存在。这意味着，如果某个数学表达式为零则表示没有物质存在。于是他写出了自由空间中万有引力场的定律。另一方面，如果表达式不为零，那么它们一定等于描述物质及其运动的物理量。这些方程就是爱因斯坦在有物质存在的点上构筑的万有引力定律表达式。　　英文

读者可能会问：这些方程中都有哪些物理量？在这里我们只能给出一个非常不充分的回答。如果在四维地图中，两个相邻的点被认为代表两个相邻的事件，那么用普通几何方法测量的两点之间的实际距离将没有任何物理意义。如果这个地图发生变形，它就会被改变，所以对于相对论者来说，撇开观察者反复无常的测量结果，它代表了某种不存在于由事件组成的外部世界中的东西。但是爱因斯坦认为有一个物理量依赖于两个点之间的关系，具有不变性，也就是说，它不依赖于某种事件地图。比较一个地图和另一个地图，设想其中一个发生变形而成为另一个，代表两个事件的点的相对位置会随着变形方式的变化而变化。可以假设，任意点的变形可以用一些物理量来表示（一般记做grs），而不变量是这些物理量和事件点相对位置的函数。　　英文

这个表征万有引力场的物理量grs被引入构成万有引力新定律的微分方程中。　　英文

当然，我们不可能用非数学语言将这个理论用数字精确地表达出来。但是这篇文章的主要目的是说明它的普遍特征。这个理论与许多其他理论的不同之处在于，它不是为了解释某个新发现而被构建的。构建它的目的是为了满足精神上的渴望和应对哲学上的质疑。它在本质上是纯数学问题。这个问题给我们的第一印象是，它是不可能被攻破的；第二点出人意料的是，它居然被攻破了；第三个令人惊奇的是，它竟然预言了可以用实验研究的现象。关于最后一方面以及对其预言的证实将是下一篇文章的主题。　　英文

III．关键的现象

上周的文章旨在说明一个完全的相对论者对万有引力物质必须遵循的法则的态度。而本文是要介绍一些特定的结论。　　英文

闵可夫斯基这样评论爱因斯坦早期的狭义相对论：“从今以后，单独的空间和单独的时间都将不存在；二者只能作为一个复合体而存在”（《空间和时间》，1908年）。在这个描述了所有历史事件的四维空间中，（x1, x2, x3, x4）被视为一组坐标。把任意一组特定数值代入坐标中，都能表示一个事件。如果一个观察者观察到发生地点和时间都很接近的两个事件，那么四维地图上相应两点的坐标也区别不大。我们把它们之间的差别表示为（dx1, dx2, dx3, dx4）。爱因斯坦的基本假设是这样的：存在一组grs，无论四维地图发生什么样的变形，

g11dx12 + 2g12dx1dx2 + … + g44dx42

都具有相同的值。在发生变形时，grs的值当然会发生变化，差值dx也同样会改变。*　　英文

如果上面的表达式被记作(ds)2，为方便起见，我们可以把ds称作两个事件的间隔（当然不是一般观念中的时间间隔）。在万有引力场不存在的情况下，如果dx4用dt来代替，那么ds2就会退化成表达式dx12 + dx22 + dx32 － c2dt2，这里c是光速。如果这个表达式等于零，则表示一个以光速运动的点所经历的两个相邻的事件。　　英文

现在，爱因斯坦就可以写出将物理量grs与坐标（x1, x2, x3, x4）相联系的微分方程了，这与完善相对论的要求完全一致。†这些方程包含了空间中所有未被物质占据的点，它们构成了爱因斯坦的万有引力定律。　　英文

行星的运动

下一步的任务是找到一个空间中只有一个点被物质占据的方程解，而这个点是解的奇点。这完全可以做到‡：也就是说，对于单一质点在引力场中的两个相邻事件的间隔，我们可以得到唯一的表达式。太阳可以当作这样的一个质点。　　英文

接下来假设在四维地图（现在这个地图严重扭曲，不能把对应于太阳每个时刻位置的点组成的线拉伸开）中，在太阳引力场中运动的质点的路径将是图上任意两点之间最直的线，即与路径上所有组成部分对应的所有间隔之和尽可能最小。§这样，就可以写出运动方程。结果如下：

一个质点的运动与牛顿理论给出的运动的不同之处在于多出了一个朝向太阳的加速度，这个加速度的值等于三倍的太阳质量（万有引力单位）乘以行星绕太阳运动的角速度的平方。　　英文

对于水星，这个新加速度的量级是牛顿加速度的10–8。这样，低于这个精确度，爱因斯坦理论就还原成了牛顿理论：牛顿理论当然不会失效。　　英文

这个多出来的加速度可以被看作是牛顿椭圆行星轨道的一种扰动。这就造成了轨道主轴在轨道平面中以每世纪42.9角秒的速度进动。　　英文

很久以前我们就知道，水星的近日点的确在以每世纪约40角秒的速度进动，牛顿理论从来没有成功地解释过这个现象，除非特意假设有一个在其他情况下未曾出现的干扰物体。　　英文

这样，爱因斯坦的理论就彻底解决了牛顿理论框架中的一个重要不足，并且，我们注意到，爱因斯坦理论和牛顿理论没有矛盾，至今它们仍然是统一的。　　英文

光在万有引力作用下的偏转

到目前为止，这个新理论的正确性已经得到了证明，英国天文学家们正将他们的主要精力放在近期的日食上，为的是检验此理论所预言的一个全新的现象，大家都认为这是一件值得做的事情。　　英文

正如上面所说的那样，在没有万有引力效应的情况下，光的传播可以表示为方程ds = 0。　　英文

爱因斯坦大胆地将它移植到了他的广义理论中。毕竟，这是一个很自然的假设。光的传播是一个纯客观的现象。在某一时刻某一点发生的干扰，以及这个干扰在另一时刻到达另一点，这两者是不同的事件，与观察者是否存在无关。任何将它们联系起来的法则都一定不依赖于观察者所使用的地图；ds是一个不变的量，ds = 0表示出了这样一个不变的法则。　　英文

这立刻就引出了在太阳引力场中光速不变的定律。

v=c(1－2m/r)

这里的m和前面一样，是太阳在万有引力单位下的质量，它相当于1.47千米，c是远离太阳处的光速。这样，从通常的观点上看，一束光的行进路线和它在折射率为(1－2m/r)－1的介质中传播一样。在这个介质中，越接近太阳折射率就越大，所以光线在经过太阳的时候就会发生弯曲。一束刚好掠过太阳表面的光的偏转角度是1.75角秒，偏转角度会随着光线与太阳之间最小距离的倒数的减小而减小。　　英文

靠近太阳的恒星的视位置比它的真实位置离日心更远。在观测日食时所拍的照相底片上，恒星图像位移的数量级为千分之一英尺。测量结果毫无疑问地显示了这样的一个位移。当然，观测的恒星并非恰好在日面的边缘；但是可以利用偏转量和距离成反比的关系进行化规，在索布拉尔的观测队测算出一束刚好掠过太阳表面的光线的偏转角度是1.98角秒，允许的误差范围是6%；在普林西比岛的观测队得到的结果是1.64角秒。　　英文

实验和理论已经足够吻合，但是，也必须考虑到引起位移的其他可能原因。很自然的，有人怀疑在太阳周围有一个能发生真正的折射效应的大气层。但是，它的存在却可以被以下因素否定，即产生这样的折射作用要求大气层足够厚，而这么厚的大气层会使光线消失，因为光线需要经过100万公里左右才能穿过去。第二种可能性是安德森教授在12月4日的《自然》上提出的。他认为，观察到的位移可能是由光线穿过地球大气层时的折射造成的，因为在月影锥内存在温度梯度，温度梯度可以引发折射现象，这个猜测也不成立。爱丁顿教授估算过，要产生我们观测到的效应，观测站的温度变化应达到每分钟20℃之多。这样的温度变化当然从未有过；事实上，在剑桥考察队进行观测的普林西比岛，温度并未下降过。　　英文

万有引力和太阳光谱

爱因斯坦指出，他的理论还会进一步导出这样的结果：原子在太阳的强引力场中的振动周期和其在弱得多的地球引力场中的振动周期有明显的差别。这个结果是这样得到的：当一个观察者与他所观察的振动原子处在同一个引力场中时，他不可能通过观察原子的振动来判断这个引力场的强度。也就是说，一个在太阳上的观察者测量到的原子振动周期与一个相似原子在地球上的振动周期相同，前提是他本人来到地球。但是在他转换观测地点的时候，他会自动调整时间尺度；在新的时间尺度中，太阳引力场中的原子振动周期将发生变化，所以就与地球上的原子不同步了。　　英文

迄今为止，太阳光谱的观测结果并不支持这种效应的存在。接下来我们该说些什么呢？这个理论在这一点上是否错了？如果是这样，它必须被放弃，尽管它成功地解释了另外两个现象。　　英文

然而，约瑟夫·拉莫尔爵士认为，事实上爱因斯坦的理论本身并没有预言过这种移位效应。本文作者也同意他的观点。事实上，我们可以想象，两个相同的原子最初处于既远离太阳又远离地球的某地。它们具有相同的周期。让观察者A伴随着其中一个原子来到太阳引力场中，让观察者B伴随着另一个原子来到地球引力场中。由于A和B进入的引力场不同，他们的时间尺度发生的变化也不同，因此，太阳上的观察者A将发现太阳上原子的振动周期与地球上的观察者B看到的地球上原子的振动周期不同。只有当两个观察者在同一个引力场中来测量时空时，他们才会判断出两原子的周期相同。如果B来到A的位置，就会发生以上所说的情况。所以，尽管还有一个要点有待澄清，但我们目前还不能说这是一个与爱因斯坦理论相悖的现象。　　英文

（王静　翻译；鲍重光　审稿）

* 万有引力场由一组物理量grs来说明，当万有引力场很小的时候，这些值除了g44以外都为零，这就近似成为牛顿的万有引力势场。

† 这些方程代替了旧的拉普拉斯方程▽2V=0。正如拉普拉斯方程是唯一一个完全不受普通空间坐标体系变化影响的二阶微分方程一样，爱因斯坦方程是唯一一个由相对论条件确定的方程。

‡ 结果是：不变的间隔ds可以由下式确定，dx2=(1－2m/r)(dt2－dr2)－r2(dθ2+sin2θdϕ2)，这四个坐标可以解释为时间和普通的球面极坐标。

§ 它对应于这样一个事实：在一个没有加速度的场中，粒子运动的路径是两点之间的最短距离。