9.2　数字和数学运算

本节深入讨论 Java 对数字类型的支持。具体来说，我们会讨论 Java 使用二进制补码表示的整数类型，还会介绍浮点数的表示方式，以及由此引起的一些问题。最后，还会举些例子，说明如何使用 Java 库提供的函数做标准的数学运算。

9.2.1　Java表示整数类型的方式

在 2.3 节说过，Java 的整数类型都带符号，也就是说，所有整数类型既可以表示正数，也可以表示负数。因为计算机只能处理二进制数，所以唯一合理的方式是把所有可能的位组合分成两半，使用其中一半表示负数。

我们以 Java 的 byte 类型为例，说明 Java 是如何表示整数的。byte 类型的数字占 8 位，因此能表示 256 个不同的数字（即 128 个正数和 128 个负数）。0b0000_0000 表示的是零（记得吗，在 Java 中可以使用 0b 这样的句法表示二进制数），因此很容易看出表示正数的位组合：

  1. byte b = 0b0000_0001;
  2. System.out.println(b); // 1
  4. b = 0b0000_0010;
  5. System.out.println(b); // 2
  7. b = 0b0000_0011;
  8. System.out.println(b); // 3
  10. // ...
  12. b = 0b0111_1111;
  13. System.out.println(b); // 127

如果设定了 byte 类型数字的第一位，符号应该改变（因为表示正数已经用完了其他位）。所以，0b1000_0000 组合应该表示某个负数，不过是哪个负数呢？

9.2　数字和数学运算 - 图1　按照我们定义事物的方式，在这种表示方式中，很容易找到一种识别位组合是否表示负数的方式：如果位组合的高位是 1，表示的就是负数。

我们来分析一下所有位都为 1 的位组合：0b1111_1111。如果在这个数字上加 1，那么得到的结果就会超出存储 byte 类型所需的 8 位，变成 0b1_0000_0000。如果我们强制把这个数变成 byte 类型，就要忽略超出的那一位，变成 0b0000_0000，也就是零。因此，顺其自然，我们把所有位都为 1 的位组合认定为 -1。这样也就得到了符合常理的算术规则，如下所示：

  1. b = (byte) 0b1111_1111; // -1
  2. System.out.println(b);
  3. b++;
  4. System.out.println(b);
  6. b = (byte) 0b1111_1110; // -2
  7. System.out.println(b);
  8. b++;
  9. System.out.println(b);

最后，我们来看一下 0b1000_0000 表示的是什么数字。这个位组合表示的是这个类型能表示的最小负数，所以对 byte 类型来说：

  1. b = (byte) 0b1000_0000;
  2. System.out.println(b); // -128

这种表示方式叫二进制补码，带符号的整数最常使用这种表示方式。为了有效使用，只需记住两点：

  • 所有位都为 1 的位组合表示 -1；

  • 如果设定了高位，表示的是负数。

Java 的其他整数类型（short、int 和 long）和 byte 的行为十分相似，只不过位数更多。但是 char 类型有所不同，因为它表示的是 Unicode 字符，不过可以使用某种方式表示成无符号的 16 位数字类型。Java 程序员一般不会把 char 当成整数类型。

9.2.2　Java中的浮点数

计算机使用二进制表示数字。我们已经说明了 Java 如何使用二进制补码表示整数，那么分数或小数怎么办？和几乎所有现代编程语言一样，Java 使用浮点运算表示分数和小数。下面说明具体的实现方式，先说十进制（常规小数），再说二进制。Java 在 java.lang.Math 类中定义了两个最重要的数学常数，e 和 π，如下所示：

  1. public static final double E = 2.7182818284590452354;
  2. public static final double PI = 3.14159265358979323846;

当然，这两个常数其实是无理数，无法通过分数或任何有限的小数精确表示。2 也就是说，在计算机中表示时，无论如何想尽办法，都有舍入误差。假如我们只想使用 π 的前八位数，而且想把这些数字表示成一个整数，那么可以像这样表示：

2其实，这是两个已知的超越数。

　314159265 × 10-8

这种表示方式显露了实现浮点数的基本方式。我们使用其中几位表示数字的有效位（在这个例子中是 314159265），另外几位则表示底数的指数（在这个例子中是 -8）。有效位表示的是有效数字，而指数说明为了得到所需的数字，要对有效数字做上移操作还是下移操作。

当然，目前举的例子都使用十进制。可是计算机使用二进制，所以我们要以二进制为例说明浮点数的实现方式，由此也增加了一些复杂度。

9.2　数字和数学运算 - 图2　0.1 这个数不能使用有限的二进制数位表示。也就是说，人类关心的所有计算，使用浮点数表示时几乎都会失去精度，而且根本无法避免舍入误差。

下面举个例子，说明舍入问题：

  1. double d = 0.3;
  2. System.out.println(d); // 精心挑选的，避免显示难看的表示
  4. double d2 = 0.2;
  5. // 应该是-0.1，但打印出来的是-0.09999999999999998
  6. System.out.println(d2 - d);

规范浮点计算的标准是 IEEE-754，Java 就是基于这个标准实现的浮点数。按照这个标准，表示标准精度的浮点数要使用 24 个二进制数，表示双精度浮点数要使用 53 个二进制数。

第 2 章简略提到过，如果有硬件特性支持，Java 能表示比标准要求的更精确的浮点数。如果需要完全兼容其他平台（可能是较旧的平台），可以使用 strictfp 关键字禁用这种行为，强制遵守 IEEE-754 标准。但这种情况极其少见，几乎不用这么做，绝大多数程序员都不会用到（甚至见不到）这个关键字。

BigDecimal 类

程序员使用浮点数时，舍入误差始终是个让人头疼的问题。为了解决这个问题，Java 提供了 java.math.BigDecimal 类，这个类以小数形式实现任意精度的计算。使用这个类可以解决有限个二进制位无法表示 0.1 的问题，不过在 BigDecimal 对象和 Java 基本类型之间相互转换时还是会遇到一些边缘情况，如下所示：

  1. double d = 0.3;
  2. System.out.println(d);
  4. BigDecimal bd = new BigDecimal(d);
  5. System.out.println(bd);
  7. bd = new BigDecimal("0.3");
  8. System.out.println(bd);

可是，就算所有计算都按照十进制进行，仍然有些数，例如 1/3，无法使用有尽小数表示。我们来看一下尝试使用 BigDecimal 表示这种数时会出现什么状况：

  1. bd = new BigDecimal(BigInteger.ONE);
  2. bd.divide(new BigDecimal(3.0));
  3. System.out.println(bd); // 应该是1/3

因为 BigDecimal 无法精确表示 1/3，所以调用 divide() 方法时会抛出 ArithmeticException 异常。因此，使用 BigDecimal 时一定要清醒地意识到哪些运算的结果可能是无尽小数。更糟的是，ArithmeticException 是运行时的未检异常，所以出现这种异常时，Java 编译器根本不会发出警告。

最后，关于浮点数，所有高级程序员都应该阅读 David Goldberg 写的“What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic”。网上可以轻易找到这篇文章，而且可以免费阅读。3

3这篇论文发表在 Computing Surveys 杂志 1991 年 3 月号上。Sun 公司的《数值计算指南》手册里有中文版，地址：http://docs.oracle.com/cd/E19059-01/stud.9/817-7888/817-7888.pdf。——译者注

9.2.3　Java的数学函数标准库

在结束 Java 对数字数据和数学运算的介绍之前，我们还要简单说明 Java 标准库中的一些函数。这些函数基本上都是静态辅助方法，在 java.lang.Math 类中定义，包括如下。

  • abs()

返回指定数的绝对值。不同的基本类型都有对应的重载方法。

  • 三角函数

计算正弦、余弦和正切等的基本函数。Java 还提供了双曲线版本和反函数（例如反正弦）。

  • max()和min()

这两个是重载的函数，分别返回两个参数（属于同一种数字类型）中较大的数和较小的数。

  • floor()

返回比指定参数（double 类型）小的最大整数。ceil() 方法返回比指定参数大的最小整数。

  • pow()、exp()和log()

pow() 方法以第一个参数为底数，第二个参数为指数，计算次方；exp() 方法做指数运算；log() 方法做对数运算。log10() 方法计算对数时以 10 为底数，而不是自然常数。

下面举一些简单的示例，说明如何使用这些函数：

  1. System.out.println(Math.abs(2));
  2. System.out.println(Math.abs(-2));
  4. double cosp3 = Math.cos(0.3);
  5. double sinp3 = Math.sin(0.3);
  6. System.out.println((cosp3 * cosp3 + sinp3 * sinp3)); // 始终为1.0
  8. System.out.println(Math.max(0.3, 0.7));
  9. System.out.println(Math.max(0.3, -0.3));
  10. System.out.println(Math.max(-0.3, -0.7));
  12. System.out.println(Math.min(0.3, 0.7));
  13. System.out.println(Math.min(0.3, -0.3));
  14. System.out.println(Math.min(-0.3, -0.7));
  16. System.out.println(Math.floor(1.3));
  17. System.out.println(Math.ceil(1.3));
  18. System.out.println(Math.floor(7.5));
  19. System.out.println(Math.ceil(7.5));
  21. System.out.println(Math.round(1.3)); // 返回值为long类型
  22. System.out.println(Math.round(7.5)); // 返回值为long类型
  24. System.out.println(Math.pow(2.0, 10.0));
  25. System.out.println(Math.exp(1));
  26. System.out.println(Math.exp(2));
  27. System.out.println(Math.log(2.718281828459045));
  28. System.out.println(Math.log10(100_000));
  29. System.out.println(Math.log10(Integer.MAX_VALUE));
  31. System.out.println(Math.random());
  32. System.out.println("Let's toss a coin: ");
  33. if (Math.random() > 0.5) {
  34.     System.out.println("It's heads");
  35. } else {
  36.     System.out.println("It's tails");
  37. }

最后，我们简要讨论一下 Java 的 random() 函数。首次调用这个方法时，会创建一个 java.util.Random 类新实例。这是个伪随机数生成器（Pseudorandom Number Generator，PRNG）：生成的数看起来是随机的，其实是由一个数学公式生成的。4Java 的 PRNG 使用的公式十分简单，例如：

4在计算机中很难生成真正的随机数，也很少有这方面的需求。如果真想生成真正的随机数，一般都需要特殊的硬件支持。

  1. // 摘自java.util.Random类
  2. public double nextDouble() {
  3.     return (((long)(next(26)) << 27) + next(27)) * DOUBLE_UNIT;
  4. }

如果伪随机数序列总是从同一个地方开始，那么就会生成完全相同的数字流。为了解决这个问题，可以向 PRNG 提供一个尽可能提升随机性的种子值。为了保证种子值的随机性，Java 会使用 CPU 计数器中的值，这个值一般用于高精度计时。

9.2　数字和数学运算 - 图3　Java 原生的随机数生成机制能满足多数常规应用，但某些专业应用（特别是密码相关的应用和某些模拟应用）的要求严格得多。如果要开发这类应用，请咨询已经在这些领域中的程序员，寻求专业建议。

对文本和数字数据的介绍结束了，下面介绍另一种最常遇到的数据种类：日期和时间。