5.1　复习小学的余数

我们在小学就开始学习余数，下面先来回忆一下小学时学的余数，然后再研究余数的性质，了解如何利用余数分组。

5.1.1　自然数的余数

有15盆鲜花要布置到会场，每行摆5盆，可以摆几行？如图5-1所示。

图5-1

小学的计算题，当然很容易计算了：

如果有23盆花，又能摆几行呢？

根据上面的计算结果可看出，23盆花摆5行多出来3盆，如果摆5行又少2盆。

以上算式中，计算出来摆4行后多出来的3盆，就是余数。

下面对余数做一个正式的定义：如果a和d是两个自然数，d不等于0，可以证明存在两个唯一的整数q和r，满足a＝qd＋r，且0≤r＜d。其中，q被称为商，r被称为余数。

当被除数小于除数时，我们以被除数为余数。例如：

表示7除以8的余数为7。

另外需要注意，按上面的定义，可能导致两种可能的余数。例如，有以下除法式子：

也可写成以下形式：

这样，－32除以－6就有2个余数，分别为－2和4。

可是，这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。在一些系统中，会有特殊的除法指令，设定余数和被除数必须同号，这样就解决了多个余数的情况。

在上面的例子中，负余数（－2）为正余数（4）减6得到，6即是除数d，通常，当除以d时，如果正余数为r₁，负余数为r₂，那么：

5.1.2　余数的性质

在介绍用余数进行分组前，先了解余数的性质。

1．性质1

余数的性质1：余数小于除数。

这是很明显的，如果余数可以大于除数，则余数就不具有唯一性了。例如，下面的除法算式中，余数出现多种情况。按性质1的要求，则只有最后一个算式是正确的，因为这个算式中余数为3，小于除数5，而其他算式中余数都大于除数5。

2．性质2

余数的性质2：被除数、除数、商和余数之间的关系如以下所列公式，其中a为被除数，d为除数，q为商，r为余数：

3．性质3

余数的性质3：有自然数a、b、c，如果a、b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。即，如果有：

则有：

例如：17、11除以3的余数都为2：

则，（17－11）的差能被3整除：

4．性质4

余数的性质4：a与b的和（a＋b）除以c得到的余数（a、b两数除以c在没有余数的情况下除外），等于a、b分别除以c得到的余数之和（或这个和除以c的余数）。

即，如果：

则有：

例如：整数33、26除以5：

则：

其中的余数4，是前面两式余数3＋1之和。

当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：

以上两个算式的余数相加等于7，这个余数之和大于除数5，因此，（33＋24）之后除以5的余数应等于（3＋4）除以5的余数。

5．性质5

余数的性质5：a与b的乘积除以c所得的余数，等于a，b分别除以c所得的余数之积（或这个积除以c的余数）。

即，如果：

则有：

例如：整数33、26除以5的余数分别为3和1：

因此：

可以看出，其余数等于3×1（即33、26两数分别除以5所得的余数之积）。

当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c所得的余数。

例如：33、24除以5的余数分别是3和4，所以：

可以看出，（33×24）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

5.1.3　用余数进行分组

用余数进行分组，是怎么分组的呢？

其实，除法操作就是一种分组操作。例如，若将1～10这10个数按奇偶性质分组，该怎么操作呢？

这时，只需要用1～10这10个数中的每一个数去除以2，再根据余数为0或1，分别归入不同的分组，若余数为0，则为偶数，余数为1，则为奇数。

可以看出，通过余数即可将1～10这10个数分为两组，奇数组的数据分别为（1、3、5、7、9），偶数组的数据分别为（2、4、6、8、10）。

类似地，如果将一批数除以5，则可通过得到的余数将这批数分为5组。也就是说，若要将一批数据分为n组，则只需要将该批数据中的数据逐个除以n，然后根据余数即可完成分组。