4.1　把所有情况都列出来

数学是我们日常生活中不可或离的知识，例如，购买商品的价格、数量，接待来访客户的数量，与客户签订合同的数量和金额等，这些都用了到最基本的数学知识计数。

计数，是我们从幼儿园、小学就开始学习的最基本数学知识，可是，到现在为止，你会计数吗？能正确的计数吗？

计数还会出错？好吧，那我们来看一个例子。

小张每天从家里到办公室去上班乘坐地铁都要购买3元的票，再多坐一站都需要购买4元的票（根据当地地铁公司的票价规定，乘坐10个区间的票价为3元）。请问，小张早上去上班要路过多少个车站？

你可能觉得这太简单了吧，这也是一个问题？

根据题意，小张购买的是3元的车票，再多坐一站都要购买4元的车票，说明小张坐的车站是3元内的最多车站数，即10站。

所以，小张早上上班路过的车站是10个站。

可是，这个答案却是错误的！

正确的答案应该是要经过11个车站。为什么是这样呢？看图4-1就可得到答案。

在图4-1中，经过的区间用圆圈中的数字表示，经过的车站的编号用下方的数字表示。从图中可看到，小张从地铁站Home出发，经过10个区间到达Office站，包括Home站在内，一共经过了11个地铁站，其中Home的编号为0。

图4-1

这是从0开始计数的表示方式，与我们平常从1开始计数有些不同，所以很多人都容易在这里犯错。

对于从0开始计数的情况，最后的数据数量应是计数值加上1，即：

其实，从0开始计数这种方式程序员应该是比较熟悉的，在C、Java等流行的程序设计语言中，数组的下标都是从0开始计数，例如，有以下C语言程序：

执行以上C语言程序，可得到如图4-2所示的结果。

图4-2

从图4-2所示的执行结果可看到，数组元素的序号从0开始，程序中定义的数组具有10个元素，其序号为0～9。

因此，如果是以0开始计数，要注意：

赛程安排也是一个计数问题。

在比赛的赛程安排中，不能漏掉参赛的每一位选手，也不能为某一位选手安排重复的比赛。这就是计数中需要解决的两个问题：遗漏和重复。

某学校举行乒乓球比赛，在初赛阶段设置为单循环赛，设有n位选手参赛，每位选手要与其余每位选手进行一场比赛，然后按积分排名选拔进入决赛的选手。这个比赛的赛程应该怎么安排呢？

为了简化，先以5位选手参加比赛为例来进行分析。

首先，每位选手都要与其余的每位选手进行一场比赛，制作一张二维表，将参赛选手分别排在行和列中。在纵横方向上都可以设置与之进行比赛的选手，得到如图4-3所示比赛对阵表。

图4-3

在图4-3所示的比赛对阵表中，选手自己不能与自己比赛（如甲与不能与甲进行比赛），因此，图中显示的比赛总场次为：

可是，看图4-3还可发现一个问题，每位选手进行了两场比赛。例如，从行方向来看，第1行中，甲与乙进行了一场比赛，在第2行中乙与甲也进行了一场比赛。如果甲与乙进行比赛、乙再与甲进行比赛，甲、乙两位选手就进行了两场比赛。其他选手的比赛场次也与此相同。

这样，就出现了计数中的“重复”问题，即某一现象被重复计数。

根据比赛规则，每一位选手只能与其余的每位选手进行一场比赛。因此，选手对阵表应如图4-4所示，这时只考虑右上角那些打对勾的比赛场次就行了。

图4-4

从图4-4中可看到各选手与对手的比赛场次：

即，比赛的总场次为：

经过10场比赛，各选手都与对手进行了一次单循环比赛，没有遗漏，也没有重复。

从上面的算式中提取相应的规律，对于有n位选手参加的单循环比赛，需要举行的比赛总场次为：

例如，有5位选手参赛，则比赛的总场次为：

若有10位选手参赛，则比赛的总场次为：