1.3　为啥要用二进制

既然人类从远古时代就开始使用十进制数了，为啥还要用二进制呢？二进制有什么优势呢？下面我们一起走进二进制的世界。

1.3.1　人脑与电脑

通过人类的进化，以及人们长期的学习和训练，人脑的潜能可以被不断地发掘。吉尼斯世界纪录中记纸牌记得最多的是一名英国人，他只需看一眼就能记住54副洗过的扑克牌（一共有2808张牌）。还有人能记住圆周率小数点后的42,905位数字！可见，人脑的潜能是可以不断被挖掘的。

在生活中，人脑对很多事物都形成了条件反射，例如，对于数据10与9的大小，我们可以直接反应出10比9大。不过，由于没有通过相应的运算，仅凭人脑直觉反应得出的结果可能是不准确的。例如，对于像比较大的两个数99999999与100000000，要想看一眼就得出哪一个数据更大，就变得不太可能了，即使得出结论，可能也会有错误。为什么呢？这是因为数据的位数变多了，并且重复的数很多，人脑无法一下子反应出来。通常要数一下有多少位数，然后才能进行判断。

计算机（俗称的电脑）却不一样，对于任何操作，电脑都需要经过相应的运算，然后才能得出结果。不管是比较10与9，还是比较99999999与100000000，电脑都会按规定的算法进行运算，最后得出相应的结果。而电脑一旦得出结果，其结果肯定是准确的！

在电脑中，使用二进制来保存数据和编写程序。为什么选用二进制，而不选用人类已经熟练使用的十进制呢？

如果要让电脑使用十进制，首先，应该让电脑能识别出十进制中的10个数字。怎么识别10个数字呢？通常的考虑是，可以通过元器件中电压的高低水平来分别标识10个数字。假如最高电压为12V，那么10个数字中，每个数码可以分配的电压区间为1.33V，如图1-27所示。

图1-27

从图1-27可知，每个数之间的电压间隔小，如果外界干扰造成电压大幅变化，数据就不准确了（如本来电压为1.33V，可被识别为数字1，但是由于外界干扰，电压增加了1V，就变成2.33V了，这里距离2.67V更近，就可能被识别为数字2）。还有一个最大的问题，在硬件上要识别这10种状态，其电路结构将非常复杂。

当然，这里只是一种假设，实际应用中采用的是二进制。由于二进制数只有2个数码，电路就很简单了，因为具有两种稳定状态的元件（如晶体管的导通和截止，继电器的接通和断开，电脉冲电平的高低等）很容易被找到。

因此，在电脑中使用二进制主要有以下优点：

技术实现简单。电脑由逻辑电路组成，逻辑电路通常只有两个状态，开关的接通与断开，这两种状态正好可以用“1”和“0”表示。

运算规则简单。两个二进制数的和、积运算组合分别有3种规则，相比十进制数的运算规则来说非常简单（十进制的九九乘法表就有81种规则），有利于简化计算机内部结构，提高运算速度。

适合逻辑运算。逻辑代数是逻辑运算的理论依据，二进制只有两个数码，正好与逻辑代数中的“真”和“假”相吻合。

易于进行转换。二进制数与十进制数、八进制数、十六进制数之间的转换很方便。

抗干扰能力强。用二进制表示数据具有抗干扰能力强、可靠性高等优点。因为每位数据只有高低两个状态，当受到一定程度的干扰时，仍能可靠地分辨出它是高电平还是低电平（只分辨电平的高低，而不用识别具体电压值）。

知道电脑用二进制数来存储后，再来看电脑就简单了。电脑保存的数据用电路的两种状态表示，当数据很大时，只需要增加数据的位数就可以了。

当超大规模集成电路迅速发展起来后，电脑中就可以处理、存储海量数据信息了。并且，由电脑保存的数据保存周期长，不易丢失、损坏。而由于人类的认知及人的记忆会随时间出现遗忘等原因，要用人脑来存储、处理海量信息，就不太可能。

因此，很多人认为电脑比人脑强。其实，电脑本质上只能识别0和1这两种状态！而更复杂的功能，则是由人类对0和1这两种状态进行各种组合而得到的。

1.3.2　二进制计数规则

二进制的计数规则非常简单，只需要记住以下3点就行了：

基数为2。

只有2个数码，即0和1。

逢2进1，借1当2。

如图1-20所示，十进制数可以由多位组成，从右向左分别为个位、十位、百位、千位、万位……，与此类似，二进制数也可由多位组成，从右向左分别为1位、2位、4位、8位、16位……，如图1-28所示。

图1-28

为什么称为1位、2位、4位、8位……呢？其实，这是从十进制角度来看二进制的各位数得出的名称。根据二进制计数的规则，用二进制计数时，第一个数为0，第2个数为1（根据逢2进1的规则），接下来为10（所以第2位就是“2位”），继续下来依次为11、100（所以第3位就是4位）、101、110、111、1000……。

如表1-1所示是十进制数0～127用二进制表示的对应形式。从表1-1中可以看到，当十进制数为0和1这两种情况时，可用1位二进制来表示这两种状态；当十进制数在7以内时，可以使用3位二进制数来表示——随着十进制数的增大，对应的二进制数的位数也会增多，在表1-1中表示到十进制数127时就需要7位二进制位来表示了。

表1-1　十进制数0～127对应的二进制表示

1.3.3　简单的二进制运算规则

与十进制数的运算规则相比，二进制数的运算规则就简单多了。同样，二进制也可对数据进行加、减、乘、除这些基本的算术运算，另外，二进制数据还可进行逻辑运算。有关逻辑运算的内容需要另一个主题来介绍，下面先来看看二进制的算术运算是多么的简单。

1．加法

与十进制的加法相比，二进制的加法规则要简单得多。如果只考虑一位数相加的情况，在十进制加法运算中，加数和被加数都有0～9共10种可能，因此，会产生100种可能的情况（即使根据加法交换律将重复的运算过滤掉，也会有55种情况）。而二进制加法运算中，加数和被加数都只有两种可能，因此，只会有以下4种情况：

根据加法交换律，将第2、3种运算看作为一种运算，则二进制的加法运算就只有3种情况了。3比55!二进制的加法运算规则是不是要简单得多！

对于多位数的二进制相加，其运算规则与十进制相同，仍然会有进位的情况，只是进位时采用“逢2进1”的方式。例如，将十进制数25加上38，根据表1-1找出对应的二进制数，即可列出如图1-29所示的十进制数与二进制数加法的竖式。

图1-29

在图1-29所示的两种进制的加法运算中，左侧的十进制运算是按“逢10进1”的方式进位，右侧的二进制运算则是按“逢2进1”的方式进位。虽然是两种不同的数据表示方式，但运算的结果是一致的（十进制数65对应的二进制数为1000001）。

2．减法

二进制的减法运算规则也很简单，只有以下4种可能：

如图1-30所示为十进制和二进制减法的竖式，在运算时注意十进制是“借1当10”，而二进制则是“借1当2”。

图1-30

3．乘法

十进制数的乘法运算需要按“九九乘法表”法则进行，而二进制乘法的规则就简单多了，与加、减类似，也只有以下4种情况：

可以看出，只有当被乘数、乘数都为1时，结果才为1；当被乘数或乘数有一个为0时，相乘的结果就为0。

另外，二进制的乘法运算可以很简单地转化为加法运算。首先看如图1-31所示的乘法竖式，左边是十进制的乘法竖式，右边是二进制乘法竖式。

图1-31

从右侧的乘法竖式可看出，当乘数某位为0时，这一位与被乘数相乘时各位都为0，当乘数某位为1时，这一位与被乘数相乘时得到的是被乘数对应的各位，只是需要将被乘数向左移动相应的位数。这样，二进制数的乘法就可以很简单地转化为“加法与移位”。

4．除法

除法是乘法的逆运算，既然二进制的乘法表只有4项，则其除法表也对应有如下4项（其中除以0是无意义的）：

看看图1-31中乘法的逆运算，如图1-32所示。

图1-32

从图1-32中可看出，二进制的除法运算也可简单地转化为“减法与移位”操作。

可以看出，在二进制中，加、减、乘、除算法都可转换为加法运算。对于减法运算，只需要将被减数设置为负数，就可将其转换为加法；对于乘法，则可使用“加法与移位”操作来完成；对于除法，则可使用“减法与移位”操作来完成。

既然比较复杂的乘法和除法运算能简单地转化为加、减法和移位操作，因此，电脑中就只需要设计一个加法器即可，这样就简化了电路设计。

1.3.4　二进制数的分解

在前面的二进制计数规则中曾说过，二进制数从右向左依次为1位、2位、4位、8位……，这是指二进制数中各位的意义。虽然只有0和1这两个数码，但是其所处的位置不同，表示数据的大小也不同。例如，有以下二进制数：

这个二进制数共有4位，由3个1和1个0组成。同样的3个1，由于其处于不同的位置，这些1所表示的大小也是不同的，其所处的位置称为权。按从右向左的顺序各位的含义如下：

第1个1表示“1的个数”；

第2个1表示“2的个数”；

第3个0表示“4的个数”；

第4个1表示“8的个数”。

因此，二进制数1011由1个8、0个4、1个2、1个1组成。按各位的权列出的算式如下：

从这种按权展开式可看出，每个位的“权”表现为2的幂次关系，即相邻两位相同数码代表的值为2倍的关系（从右向左看，第2位的1是第1位的1的2倍）。

这种按权展开式可方便地将二进制数转换为十进制数。

1.3.5　十进制数转换为二进制数

将二进制数按权展开，就可以方便地将其转换为十进制数。那么，十进制数该怎么转换成二进制数呢？

十进制整数转换为二进制整数通常采用“除2取余，逆序排列”法。

具体做法是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为0时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。

例如，将十进制数14转换为二进制数时，“除2取余”的转换过程如图1-33所示。

图1-33

通过图1-33所示的逐项除2取余方式，得到每次除以2的余数，最后将取得的余数按逆序排列，即将十进制数14转换为二进制数1110。将这个二进制数按权展开，又可得到十进制数14。