注释

前言　以爵士之眼，透视物理学之奥秘

1．Yusef Lateef, Repository of Scales and Melodic Patterns (Amherst, MA:Fana Music, 1981).

2．Yusef Lateef, The Gentle Giant: The Autobiography of Yusef Lateef, with Herb Boyd (Irvington, NJ: Morton Books, 2006).

第一部分　当物理学与音乐相遇

01　巨人的步伐

1．有一种观点认为，鸟类的叫声如音乐一般也是为了听起来悦耳。

2．有些作者把音乐的“维数”扩大了。我向读者推荐一本美妙的书：This Is Your Brain on Music: The Science of a Human Obsession, by Daniel J. Levitin（New York: Plume, 2007），其中包含了对音乐知觉12个维度的完整介绍。

3．根据分形几何的先驱之一贝努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）的说法，“巧妙地组合在一起，这种组合应该是和谐的，就像海岸线那样”。有趣的是，在著作《分形学：形态、概率和维度》（Fractals: Form, Chance, and Dimension［San Francisco: W. H.Freeman, 1977］）中，曼德尔布罗特声称，星系自组织为分形结构。不久之后，天体物理学家卢恰诺·彼得罗内罗（Luciano Pietronero）就发现星系系统确实具有分形结构，虽然这种说法还存在争议。

4．Malcolm Brown, “J. S. Bach + Fractals = New Music,” science section, New York Times, April 16,1991.

5．Charles W. Misner, Kips S. Thorne, and John Archibald Wheeler, Gravitation (San Francisco: W. H. Freeman, 1973).

02　寻梦物理学，无所畏惧地向最难的问题发起进攻

1．这个模型也叫海森堡XXX模型，感谢爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）指出这个问题。

2．磁性材料具有滞后曲线，也即磁铁对外加磁场磁性的“记忆”。

03　通向宇宙结构的所有河流

1．在爵士乐中，当独奏者即兴演奏时，歌曲的某一部分往往会不断重复。在这部分结束之前，会有一段和声运动（转场），以使这首歌曲回到开头阶段。

2．与玛格丽特·盖勒的私人通信，2015年10月。

3．Margaret J. Geller and John P. Huchra, “Mapping the Universe,” Science 246, no. 4932 (November 17, 1989): 897–903, doi: 10.1126/science. 246. 4932.897, PMID 17812575, retrieved May 3, 2011.

4．稍后，我们将讲到弦理论会解决这种无穷大问题。

第二部分　音乐与那些科学家的故事

04　弦论，审视美丽宇宙之声

1．Michio Kaku, “The Universe Is a Symphony of Strings,” Big Think, http://bigthink.com/dr-kakus-universe/the-universe-is-a-symphony-of-vibrating-strings, accessed November 28, 2015.

2．在物理学领域，尤其是在量子力学领域，有很多关于理论如何产生的阐释问题。有些物理学家认为不必进行主观解释，只要计算结果就可以了，因此才有了“闭上嘴，动笔算”一说。有人认为这个说法是保罗·狄拉克和理查德·费曼发明的，也有人认为是固体物理学家戴维·默明（David Mermin）提出的。

3．Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory: The Scientist's Search for the Ultimate Laws of Nature (New York: Pantheon, 1993), 130．狄拉克以对美的追求而著称，他后来意识到，当爱因斯坦的假设被纳入描述电子运动的方程时，一种隐藏的对称性就出现了。把正号变成负号在物理学上相当于改变电子的电荷。出乎他意料的是，这个结果在物理上与量子力学是相容的，这意味着一个先前未知的粒子的存在。一年后，这种与电子电荷相同、电性相反的反电子（正电子）被发现，狄拉克因此获得了诺贝尔奖。

4．在第11章中，我们将通过音乐理论中的理念来讨论对称性自发破缺的概念和数学理念。

5．David Demsey, “Chromatic Third Relations in the Music of John Coltrane,” Annual Review of Jazz Studies 5 (1991): 145–180; Demsey,“Earthly Origins of Coltrane's Thirds Cycles,” Downbeat 62, no. 7 (1995): 63.

05　毕达哥拉斯之梦

1．Marcelo Gleiser, The Dancing Universe: From Creation Myths to the Big Bang (Lebanon, NH: University Press of New England, 1997).

2．Jamie James, The Music of the Spheres (New York: Grove Press, 1933),64:“Musica instrumentalis is harmonious because it reflects the perfection of the cosmos in the world of ideal forms; an octave sounds harmonious to human ears because the rhythms of the music are in concord with our own internal rhythms . . . the musica humana.”

3．Gleiser, The Dancing Universe.

4．Willie Ruff and John Rodgers, The Harmony of the World: A Realization for the Ear of Johannes Kepler's Astronomical Data from Harmonices Mundi 1619, Kepler Label, August 3, 2011, compact disc.

5．Johannes Kepler, The Secret of the Universe: Mysterium Cosmographicum, trans. A. M. Duncan (New York: Abaris Books, 1981).

06　伊诺，音乐宇宙学家

1．“Generative Music: Evolving Metaphors, in My Opinion, Is What Artists Do,”a talk Brian Eno delivered in San Francisco, June 8, 1996.

07　在爵士乐中，打破物理学的界限

1．AAJ Staff,“A Fireside Chat with Marc Ribot,”All About Jazz, February 21,2004.

2．www.allaboutjazz.com/a-fireside-chat-with-marc-ribot-marc-ribot-by-aajstaff.php, accessed November 28, 2015.

08　无处不在的振动

1．这里有个小技巧，sin（t）的二阶导数是-sin（t）。

2．Larry Hardesty,“The Faster-Than-Fast Fourier Transform,”Phys. Org, January 18, 2012, http://phys.org/news/2012-01-faster-than-fast-fourier.html, accessed November 28, 2015.

3．余弦函数可以由正弦波变换而来，它与正弦波一样基本。从技术上说，它也会在这里出现，只不过它是正弦函数的导数，所以简化后的方程满足了我们的目的。

第三部分　宇宙本身是否就是一件乐器

09　野心勃勃的物理学家们

1．P. W. Anderson, “More Is Different,”Science 177, no. 4047 (1972):393–396.

11　会发声的黑洞

1．“Interpreting the‘Song’of a Distant Black Hole,”Goddard Space Flight Center, NASA, November 17, 2003, www.nasa.gov/centers/goddard/universe/black_hole_sound.html, accessed November 28, 2015.

12　声音与静默，宇宙结构的和谐旋律

1．拉希德·苏尼亚耶夫（Rashid Sunyaev）与雅可夫·泽尔多维奇（Yakov Zel'dovich）同时也得出了这个结论。

2．也有例外，比如即便这种基音在物理声谱中是缺失的，我们仍可以感受到其音高。

3．John Cage, “Forerunners of Modern Music,” in Silence: Lectures and Writings (Middletown, CT: Wesleyan University Press, 1961), 62.

13　马克·特纳的量子头脑之旅

1．Devin Leonard, “Mark Coltrane Escapes the Shadow of John Coltrane,”Observer, June 26, 2009.

2．Roger Highfield and Paul Carter, The Private Lives of Albert Einstein (New York: St. Martin's Griffin, 1995).

14　费曼的爵士风

1．www.azquotes.com/author/9502-Wynton_Marsalis/tag/jazz, accessed November 18, 2015.

2．Gunther Schuller, “Sonny Rollins and the Challenge of Thematic Improvisation,” The Jazz Review, November 1958.

3．Jonah, “The Graphene Electro-Optic Modulator,”The Physics Mill, May 25, 2014.

15　宇宙的共振

1．Rhiannon Gwyn et al., “Magnetic Fields from Heterotic Cosmic Strings,”Physics in Canada 64, no. 3 (Summer 2008): 132-133．我和合作者在一篇论文中提出，研究原始磁场起源的方法有可能来自杂化弦理论。杂化弦可以像导线一样载有电荷、生成磁场。如果早期宇宙中充满了由这种杂化的“宇宙弦”构成的匀质网络，那么就可以产生适当数量的原始星系磁场。

第四部分　我们的音乐宇宙

16　噪声之美

1．Allan Kozinn, “John Cage, 79, a Minimalist Enchanted with Sound, Dies,”New York Times, August 13, 1992.

2．零自旋暴胀场由标量函数描述，比如F（x）。自旋为1的场（如电磁场）由矢量函数描述。矢量函数中矢量的指标提供了有关场极化的信息。

3．在量子场论中，场通常会发生自相互作用。这往往关系着场从一个粒子中创造多个粒子的能力。自相互作用也描述了量子场中所储藏的势能。

17　音乐宇宙

1．对于在弦理论中实现乔奥·马古悠的机制，我和希腊弦理论学家伊莱亚斯·科瑞兹斯（Elias Kiritsis）各自找到了更好的方法，但都要依靠D-膜。黑洞也可以存在于五维宇宙中。银河系的中心是人马座A*（Sagittarius A-star），它由一个超大质量的黑洞以及围绕其旋转的恒星构成。假定一个D-3膜宇宙正在围绕一个五维黑洞旋转，我和科瑞兹斯发现，膜宇宙中的光速将随着它与黑洞之间距离的变化而改变。

2．Nima Arkani-Hamed et al., “Ghost Condensation and a Consistent Infrared Modification of Gravity,” Journal of High Energy Physics 405 (2004): 74.

3．如果宇宙的体积变得更大，那么熵也会变大，这意味着一个更长的周期。

18　星际空间

1．Ben Ratliff , Coltrane: The Story of a Sound (New York: Farrar, Straus and Giroux, 2007).