正是这些知识……在永恒的真理中，把我们与单纯的动物区别开来，并在科学中给予我们理性，提高我们对自身的认识……这些必要的、永恒的真理是所有理性认识的首要原则。它们是我们与生俱来的。自宇宙诞生开始，它们就是自然中的特定原则，因为它们体现了整个宇宙的本质。

——莱布尼茨

从构成核物质的夸克的对称模式到DNA的双螺旋结构，再到超星系团中的星系模式，宇宙中充满了各种各样的结构，甚至创造这些结构的物理定律本身也具有结构，这个结构由对称性原理和对称性破缺之间的连续作用所主导。在本书中，我们进行了一场声音之旅，讨论了宇宙中这些结构的展开有着音乐特征。和谐、对称性、不稳定性和即兴演奏的缺口共舞，共同协作以维持宇宙结构，这就像折叠的宇宙如柯川的独奏一样展开。宇宙结构的催化剂是量子场，它们在时空的收缩与膨胀之间趋于和谐。在整个时空背景中，这些场的原始振动就像一件乐器的振动体，创造了宇宙中的第一个结构。通过振动、共振和相互作用，微观世界与宏观世界联系在了一起。

爱因斯坦说得好：“宇宙的最不可理解之处，就在于它是可理解的。”物理定律、恒星、行星，乃至最终总结出这些定律的生命形式是如何形成的呢？当我们思索声音、即兴演奏和结构形成之间的联系，以及与最有趣的结构（即生命本身）之间的因果联系时，我们会不由自主地问：“宇宙是有目的地创造了这些结构吗？”当物理学家开始谈论目的时，我们就陷入了黑暗的泥沼。我撰写了这一章，而你们正在阅读我写下的这些文字。我们生而为人的意义之一，不就是为了寻找目的吗？毕竟，我们是数十亿年来结构形成的产物。在体现人类所付出的努力方面，音乐可能是最佳范例，一方面，它既有数学的根源，也有物理的根源；另一方面，它具有唤起强烈的情感和目的感的能力。探究音乐能深深地打动我们的原因是一件乐事，这是对我们与宇宙之间的基本联系的一种听觉暗示。如果宇宙起源建立在声音模式的基础上，那么认为音乐本能地帮助我们探索宇宙的起源是否有些牵强呢？

我们已经知道，在大爆炸之后，声音模式的谱取决于自然界中的微调“常数”，就像试图让铅笔尖端向下以求得平衡，这些常数必须由未知的定律来微调，以形成有生命存在的宇宙结构。回想一下我们之前做的类比，宇宙就像一件乐器一样运作，它可以通过自我调节来演奏出恒星、星系乃至生命的宇宙之声，它必须掌握能实现这种自我调节的方法。通过这种音乐宇宙类比，我提出了一种和声（或称循环）宇宙理论作为微调问题的潜在解。如果宇宙像一个纯音一样经历了无限多的一系列收缩和膨胀，那么通过在收缩-膨胀的反弹之间即兴演奏新的数值，自然界中的常数就可以自我调节。当宇宙进入膨胀期（比如我们现在所处的时期）时，耦合场就被固定在反弹时期的数值。如果我们的宇宙在过去经历了很多个周期，那么这些耦合就会即兴演奏新的数值，最终将适合碳基生命的存在。不过，我们的疑惑依旧存在：在生命的形成和宇宙结构的演化背后到底隐藏着什么目的呢？在本章的剩余部分，我会通过一个思想实验来回答这个问题。约翰·柯川和他的曼荼罗将成为这个思想实验的主题。

把复杂简单化

柯川的勤奋是出了名的，有时他练着练着含着送气口就睡着了。他勤奋的动力源自他对宇宙意义孜孜不倦的探索。在晚年时，柯川将自己的乐器作为寻找音乐和宇宙之间的联系的工具，物理学家则利用实验仪器来做相同的事情。例如，柯川探索了无数种以II-V-I进行和弦演奏的方法，这在他的专辑《巨人的步伐》中体现得淋漓尽致。和布莱恩·伊诺一样，柯川也借助声音和音乐来揭示关于宇宙的永恒真理。他把音调-时间的二维空间扩展到多维空间，后者包括声音处理，比如多音（同时演奏泛音）和纸片声。

爱因斯坦是柯川最崇拜的人之一。通过开展多学科研究，柯川努力寻找着现代物理学、东方哲学中的轮回、西方的和声与非洲多旋律之间的联系。爱因斯坦在物理学上的发现不仅受到物理学家的影响，也受到其他学科的影响。和爱因斯坦一样，柯川意识到，他必须超越西方经典爵士乐的典型风格，进而构造自己的音乐宇宙，并用音乐来表现宇宙。柯川应该成为科学家的灵感来源。通过自学，柯川从爱因斯坦的相对性原理中受益匪浅，并将其融入了自己的音乐。我们能从柯川的曼荼罗中看到物理学爵士乐的核心：爵士乐音乐家将理论物理学家的方法当作思想实验和战略工具，以进行即兴演奏。

在生命的最后阶段，柯川创作了三张专辑，分别为《恒星区域》《星际空间》《宇宙之声》。他研究了爱因斯坦的广义相对论和宇宙膨胀假说，并从中受到启发，创作了《星际空间》。他敏锐地意识到膨胀是一种反引力。在爵士乐队中，“引力”来自贝斯和鼓。柯川的独奏从《星际空间》中奔腾而出，并不断向远处扩张，最终挣脱了节奏乐器组的引力。柯川认为，宇宙的复杂性会渗入人类的行为，他练习了无数个小时，就为了成为这种宇宙之力与人类之间的纽带。在歌曲《木星》（Jupiter）中，柯川在自己的即兴演奏中从字面意义上沟通着木星卫星的轨道。

我还记得几年前在韦恩·肖特（Wayne Shorter）的75岁生日宴会上，我和柯川的儿子拉维·柯川（Ravi Coltrane）的谈话。我对拉维说，我正在探索他父亲的音乐和爱因斯坦的相对论之间的联系。拉维严肃地看了我一眼，然后说：“我父亲痴迷于数学与物理。”是什么让柯川对宇宙有着敏锐的直觉，并沉迷于其中无法自拔呢？

我有幸采访了声名卓著的作曲家、多乐器演奏家大卫·阿姆兰（David Amran），他曾与柯川讨论过后者对爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论的兴趣。1956年，他们在纽约西村（West Village）巴罗街上的波希米亚咖啡馆相遇。阿姆兰刚和迪齐·吉莱斯皮（Dizzy Gillespie）谈完，就来到坐在外面吃派的柯川身边。

阿姆兰问：“过得如何？”我说：“一切都好。”接着，他又问我：“你对爱因斯坦的相对论怎么看？”我并不认为他对我了解的知识多么感兴趣，我觉得他只是想与我分享他所掌握的知识而已。我脑中一片空白，而他则谈起了太阳系的对称性，后来又谈到空间中的黑洞、星座，乃至太阳系的整体结构，以及爱因斯坦如何把这些复杂性归结为一种非常简单的事物。然后他告诉我，他正试图在音乐方面做一些类似的事情，寻找一些来源于自然的东西，而这些东西关乎蓝调和爵士乐的传统。然而，对于音乐中什么是自然的，他有一种截然不同的看法。¹

即使是那些理解了数学的纷杂之处的人，也会很容易就忽视了爱因斯坦的理论的核心：它是一个优美的物理理论，源自一个简单的原理，包含并联系着更复杂的定律。在狭义相对论中，“简单的原理”意味着光速不变性。我们所说的不变性是指一种有着不变量的变换。例如，我可以将自行车轮胎上的一个点旋转或变换到另一个点，而辐条的长度不会改变。对称性和不变量之间有着很深的联系。轮子是旋转对称的，因此，轮子的旋转变换不会改变轮子的形状。相似地，光速的不变性也反映了时空的基本对称性。无论一个观察者在时空中相对于另一个观察者的运动有多么复杂，光速始终被限制为不变量（常数）。

当这个原则体现在数学上时，它很自然地把电场与磁场统一起来。在这些彼此无关的方程中，所有表面上的复杂性都统一到了一组简单的方程中，这组方程反映了光速的不变性。在此展示这组方程是很有必要的。我们来看看麦克斯韦方程组（图18-1）。

图18-1　关于磁场和电场的4个麦克斯韦方程

当我们考虑光速的不变性时，这4个方程都可以写成同一个：

在此有必要简单地讨论一下麦克斯韦方程组。正是因为时间与空间在四维时空连续体中的统一，爱因斯坦才得以构造出四维中的一种场。这种场又叫规范势（gauge potential），它描述了光子，以A_μ表示。在这种四维势场中，我们可以通过求导来定义电场与磁场，也可以定义规范场的四维导数dvaμ - dμAv=Fμv。

下标μ和ν表示四维时空的方向，也就是μ=（t，x，y，z），由此我们可以定义四维导数。

方程的左边包含了电场与磁场的信息，但它们都被分组到了一个单一的事物F_μν里，F_μv即场强张量（field strength tensor）。右边的J_ν又叫4-电流，它与普通麦克斯韦方程组里的三维电流类似。因此，这个方程表示，四维场强张量是以四维电流为源的。这些四维事物的三维投影产生了不同的三维麦克斯韦方程。在三维中，光速的不变性并不是显而易见的，麦克斯韦方程只是光速不变性非常明显的四维事物的片段（影子）。这就像一个直立的自行车轮胎投在地面上的影子，它看上去像一条线——圆周对称性不再明显。柯川意识到了这一点！从他与阿姆兰的对话来看，我相信他把这一点应用到了自己的音乐中。接下来，我会为此提供一些证据。

爱因斯坦对对称性的应用约束了时空中的场的相互作用。例如，在电磁场中，只有约束在四维光锥上运动的四维场才能相互作用，详见图18-2。为了更直观地理解这一点，我们可以想象自己被约束在一个半径为r的球体的表面。如果我们用坐标（x，y，z）表示球面上的一个点，那么只有满足x²+y²+z²=r²的值是被允许的，而不是x、y和z取任意值都可以。我们可以假设场的相互作用满足类似的四维方程，它们将场约束在四维光锥上。其他不在光锥上的相互作用都不被允许。

图18-2　闵可夫斯基空间中四维超曲面的时空几何

注：点在锥面上的变换使得光速恒定，或者说不变。

爱因斯坦对时空对称的应用还有一个作用，即规定曾经被认为彼此不相关的现象之间的联系。在此之前，相对性、时间和空间被太过简单地联系在一起，电场和磁场的情形与此类似。粒子可以随时间改变位置，但相对性把特定的空间长度和时间长度联系在一起，它们由观测者本身的运动决定。对静止的观测者来说看上去像电场的场，对运动中的观测者而言也许像磁场。

我认为柯川把这些相对性的理念应用到了音乐上。我和尤瑟夫·拉蒂夫讨论过柯川的曼荼罗中暗藏的启示，这些启示给了我们线索。和爱因斯坦的光锥一样，柯川的曼荼罗是一种几何结构，统一了他在演奏曲目中使用的一些关键音阶与和声装置之间的关系。鉴于音乐练习是柯川音乐才能的核心，他的曼荼罗就相当于一种几何装置，揭示了音乐宇宙中的多种模式。当我意识到这一点时，我便开始以曼荼罗为工具，在曼荼罗模式的指导下构建音阶之间的联系。

在狭义相对论中，光速不变的事实会使其他的量发生“扭曲”，以保证在不同的参考系下光速的不变性。例如，对一列静止的火车来说，相对于静止的观测者，它在运动中的观测者眼中的长度会缩短。

类似地，如果我们在两个调上演奏相同的音符，那么这些音符听起来就会不同。它们不仅听起来不同，实际上在新的音阶中也占据了不同的位置。在C调上演奏A-B-C听起来像六度音阶、七度音阶和八度音阶，终止于分解的主音。如果在B调上演奏一组相同的音符，那么它们就会从七度音阶开始，经过主音，终止于高于主音小二度的音。它们与自己被演奏的调上的固定点（八度和五度）之间的联系完全不同。这些音符就像一列火车的长度，是单一固定的事物（音符A或者音符B），但在给定的调上被演奏时，它们就会根据主音的固定值以及调之间的间隔发生变化、扭曲。柯川的曼荼罗就体现了这种观点，但它更优美，其中的五度音阶、三全音和四度音阶之间的联系是固定的结构，这些结构像一个基点，把相对音阶彼此之间联系起来。

乍看上去，柯川的曼荼罗令人望而却步。为了找出它的基础结构，我们将它简化为一个描述不变性的框架。与狭义相对论类似，当我们得到了这个不变结构之后，我们就可以从被不变性决定的相互作用中生成动力学中的复杂性。我们首先要确定不变性，或者说让我们忽略了音符本身的几何图形。我们立刻就会看到一块表，每个小时由一组3个音符表示。例如，在12点，我们看到一组3个音符（B、C、升C）作为1号。如果我们将每一个组标记为一个点，那么这一组3个音符可以进一步简化。由此我们得到只显示12个小时的表盘，它简化为了西方音阶中的十二音循环。柯川的曼荼罗中还有一个古怪的地方，即柯川把5个重复的音符C与一颗五角星连了起来。我们得到的是以下意义上的循环几何图形：如果你数数这些音符，会发现60个周期性重复的音符。在这个周期中，12个音符会在60音循环中生成5个音符C——这正是曼荼罗中的星星。因此，柯川的曼荼罗是一种循环中的循环（图18-3）。

图18-3　柯川的曼荼罗

注：它揭示了60音循环中的五音循环的几何图形。图片提供者：拉蒂夫。

当确定了五角星上所有的音符C后，我们就得到了西方音乐中的十二音体系。然而，当我们把曼荼罗中的5个音符C看成1个时，信息就丢失了。此处的“信息”指的是几何图形，或者是60音循环中的五边形。如果试着在十二音体系中保留这栋“五角大楼”，我们就会得到一个非常有趣的音阶——五声音阶。基于柯川和阿姆兰的对话，有人也许会猜测，他“正试图在音乐方面做一些类似的事情，寻找一些来自自然的东西，而这些东西关乎蓝调和爵士乐的传统”。实际上，世界各地的文化中都存在着五声音阶，甚至可以追溯到2 500年前的中国和希腊。在格列高利圣咏⁽²²⁾、黑人灵歌（如《无人知道我的忧愁》［Nobody Knows the Trouble I've Seen］）、苏格兰音乐（如《友谊地久天长》［Auld Lang Syne］）、印度音乐、爵士乐标准曲（如《我找到了节奏》［I Got Rhythm］、《可爱的乔治亚·布朗》［Sweet Georgia Brown］）和摇滚乐（如《天国的阶梯》［Stairway to Heaven］）中，这种音阶广泛存在。柯川一直寻找的正是音乐中普遍存在的东西，而他的初衷是确定音乐的哪个方面在人类文明中是普遍存在的。他还说，他想要找到来自自然的音乐。五声音阶可以由5个纯五度构成。纯五度是傅立叶级数的二次谐波，它是自然生成的，所以满足了柯川所说的“寻找一些来自自然的东西”。

创造一个结构，它终将理解宇宙自身

然而，最具说服力的证据来自柯川最著名的两首曲子——《至高无上的爱》和《星际空间》，二者都是基于五声音阶（图18-4）。我的朋友斯泰西·迪拉德（Stacy Dillard）是纽约著名的次中音萨克斯手，他认为五声音阶是爵士乐即兴演奏的纲要。换句话说，与爱因斯坦的不变性理念一样，五声音阶是爵士乐即兴演奏的复杂性得以展现的基石。这并不意味着五声音阶是唯一的基石，不过它引出了一个问题：这种相对简单的音阶为何具有如此巨大的音乐潜力？

图18-4　C大调五声音阶的五边形对称性

柯川的曼荼罗还包含其他由循环几何得来的美丽关系，并与阿诺尔德·勋伯格（Arnold Schoenberg）和奥利维埃·梅西安（Olivier Messiaen）形成共鸣，他们也把集合论的理念应用于作曲中。在爵士乐即兴演奏中，三全音替代是一种非常重要的方法。这实际上意味着，在和弦与和弦之间的旅程中，我们可以用一个更简单的和弦来替代后面的和弦。我们已经知道，II-V-I进行是爵士乐与西方古典音乐中最普遍的进行之一。三全音只不过是12-调周期中的反射对称（图18-5）。所以在C调中，V是G-属和弦，其对G的镜像／三全音是D-降属音。因此，当我们从G属音转到C时，我们可以用D-降属音来代替G属音。这非常好，因为D-降属音离II（也就是D）只有半步。柯川的60音循环曼荼罗也包含这种具有三全音的反射对称性。

图18-5　某个音符关于其三全音的镜像反射

注：例如，C的三全音是F#，F#的三全音是C。

圆上的三音符组出乎意料地产生了神秘的全间隔四度音阶。例如，就数字1所在的位置，我们从音符C开始，并且追循圆上接下来的4个音符，我们会得到C、C#、E、F和F#，这就是一个全间隔四度音阶。澳大利亚钢琴家肖恩·韦兰（Sean Wayland）认为，全间隔四度音阶可以作为一种演奏《巨人的步伐》中和弦变换的手段。不止如此。注意，柯川勾勒出了一个正方形，其中包含三音符组。这些音符正好是五音循环，后者生成了五声音阶。最终，柯川概括出了一个最常用的对称音阶——全音音阶，它的音符占据了内环与外环。因此，曼荼罗是柯川创造的一幅令人惊叹的几何作品，它将这些普遍存在的重要音阶联系在了一起，就像时空变换把长度收缩与时间膨胀、电场与磁场联系在一起一样。

《宇宙的结构》这本书不仅涉及音乐与宇宙学之间的类比，也讨论了音乐和即兴思维在物理学研究中的重要性。理论物理学家举例证明了柯川的音乐之道。我们使用各种数学工具与概念工具，并通过大师（如爱因斯坦和理查德·费曼）提出的实例来进行练习。类似地，像柯川这样的爵士音乐家则通过无数个小时的练习来掌握经典。然而，无论是对爵士音乐家还是理论物理学家来说，仅仅掌握已有的知识是远远不够的，还要进行创新。

人类是唯一能发现高等数学的生物，是唯一能创造并规范音乐的生物。如果宇宙中的美和物理学与音乐中的美和物理学是相互联系的，那么这种联系只存在于人类的大脑中。里克·格兰杰（Rick Granger）、捷尔吉·布扎基（György Buzsáki）和安妮·帕特尔（Ani Patel）等神经科学家仍在努力研究大脑是如何感知、学习、记忆、计划和预言的。然而，老鼠、狗和熊也能做这些事情。那么，是什么让人类的大脑与众不同呢？是什么让我们的大脑能完成非人类的大脑所不能做的事情，比如欣赏音乐、理解数学，以及创造新的事物——作曲、即兴演奏、发现关于宇宙的新的数学事实？

少数像柯川这样的音乐家具有与生俱来的即兴演奏能力，能发现和声里隐藏的模式和规律，并利用这些发现来创造全新的旋律序列。而少数像爱因斯坦这样的科学家则能发现一些新的规律，这些规律逃过了其他伟大科学家的法眼，比如把麦克斯韦方程组简化为一个统一的方程。

也许我们天生就有着和爱因斯坦一样的数学能力，以及和柯川一样的即兴演奏天赋，也许他们的独特之处就在于能把这些天赋推进到远超常人的地步。当神经科学家找到了感知与思维的基础，也许下一步就是去研究大脑的共性和差异，以及柯川和爱因斯坦的洞见与发现来自他们大脑中的哪一部分——也许这需要新的物理学。现在，一些关于大脑的研究正在破解这些难题：当我们感知到音乐的复杂时，我们的大脑中发生了什么？人类的大脑如何以不同于其他动物的方式来处理我们周围的环境，并给我们带来了数学、音乐即兴演奏和语言？

套用《动物农场》（Animal Farm）中那头声名狼藉的猪的说法，显然有些人的大脑比其他人的更独特。爱因斯坦和柯川向我们展示了一些其他人没能发现的事物。无论在狭义层面还是在广义层面，当我们开始了解我们的大脑时，也许神经科学就将向我们展示音乐与物理之间的联系，以及我们人类这种独一无二的物理存在是如何寻获并理解这些联系的。

要想找到这些问题的答案，也许我们需要在物理学、艺术和神经科学的连接点上取得根本性进展。通过探究物理学和音乐是如何在人类的大脑中同时出现的，我们或许能揭示出音乐形式与物理形式之间的深层联系。毕竟，无论人类的大脑有多神秘，它都是宇宙中最复杂的结构。

莱布尼茨是微积分的发现者之一，他认为宇宙中的可约元素（单子）或许包含着宇宙的本质。源自并遵循物理定律的人类大脑是如何反过来理解物理定律的？至今这仍是一个谜。如果如我所说，宇宙的基本功能之一是即兴创作它的结构，那么当柯川即兴演奏时，他所做的事情和宇宙所做的事情就是相同的，即创造一个结构，它终将理解宇宙本身。