在电子合成器和生成音乐出现之前，在量子宇宙学领域关于宇宙结构形成原理的争论出现之前，牛顿就出现在这个世界上了。他通过一个直观而普遍的机制，把3位数学家前辈（毕达哥拉斯、伽利略和开普勒）的工作整合在了一起。公元前500年，毕达哥拉斯开始重现他在铁匠铺中听到的泛音。通过倾听锤子敲击金属发出的声音，他用不同长度的绷紧的弦重现了锤子的重量之间的数学比例。然而，毕达哥拉斯以及其后几千年里的研究者都没有意识到，即便是最复杂的振动，其背后也隐藏着一个普适的秘密，我们可以用一个实用而优美的数学原理——傅立叶变换来描述它。

牛顿定律：一切孤立物体都有惯性

2 000多年后，即大概1600年，伽利略与开普勒依然对毕达哥拉斯的发现抱有热情。虽然他们无法从物理学上解释弦是如何奏出和谐的音符的，但是他们毕生的工作为实现这一目标打下了坚实的基础。对神圣几何与宇宙和谐的信仰使开普勒发现了行星运动定律。不过，他与开普勒都没有意识到，他们研究的运动只是一种尚未被发现的力作用的结果。接下来，该牛顿登场了。

牛顿于1643年出生在英格兰，是有史以来最有影响力的数学家和物理学家之一。他才华横溢，最痴迷的是物体的运动。在微积分和光学领域，牛顿都做出了重要贡献，而最重要的是，他是经典力学的奠基人。经典力学描述了地球上的物体的运动，比如机械的运动、抛射体的运动，甚至是伽利略从比萨斜塔上扔下的铁球的自由落体运动。牛顿证明了力是物体运动发生变化的原因，但他并没有止步于此。他希望能解释一切物体的运动，无论是地球上的物体，还是天体。他的决心促使他完成了《自然哲学的数学原理》一书，并于1687年出版。他在书中提出了作用于地球，甚至宇宙中的一切运动的力——引力。正是因为有了引力，物体才会落到地球上，行星也才会围绕太阳运动。当他用自己提出的“一般定律”去推导开普勒的行星运动定律时，他获得了巨大的成功。

由弦的振动产生的泛音虽然仍难以捉摸，但牛顿在发现三大运动定律的过程中，不知不觉地就为弦的物理学奠定了基础，后来的研究者最终得以理解了它。随着时间的推移，他的继任者共同探索着这幅拼图的剩余部分，最终得到了弦运动的图像。接着，物理学家又成功描述了波的运动，而这最终会被证明是黏合量子物理学、宇宙学和音乐的“胶水”。

牛顿的发现中隐藏的秘密就存在于支配着自然界中所有物体的一种现象。它是一根把所有运动连在一起的线，牛顿称之为惯性原理。他发现，一切孤立的物体不会旋转、加速或者减速。惯性是物体的一种固有属性，它天然地抵抗物体运动状态的变化。

牛顿第一运动定律：除非受到外力的作用，否则处于静止状态的物体会保持静止，而处于运动状态的物体其运动速度与方向会保持不变。

牛顿第一运动定律促使我们提出一个新问题：“力是什么？”为了解释它，牛顿提出了第二个运动定律。他精确地定义了“力”，把它等同于一个以特定的速率和方向运动的物体速度的变化率。如果一个物体的速度发生变化——速度增大、速度减小或改变方向，我们就说它在加速。这就是牛顿第二运动定律的本质。作用在物体上的力会使该物体加速。相反，通过观察一个物体如何加速，我们可以确定相应的力的特征。牛顿发现，当力作用在物体上时，加速度和物体的质量直接相关，且通常取决于物体的质量。

牛顿第二运动定律：作用在物体上的力F，等于物体的质量m与加速度a的乘积——

F=ma

乍看上去，牛顿所发现的惯性、力与速度变化之间的关系似乎是显而易见的，但其意义十分深远。通过这个简单的方程，我们能确定受力粒子未来的位置。实际上，这个方程的魔力正在于它的预测能力。

我的物理老师丹尼尔·卡普兰在第一天上课时写在黑板上的方程，恰好就是牛顿第二运动定律方程。当他把网球扔向空中时，他的手提供了一个力，网球向上加速运动。引力提供了另一种力，网球又向下加速运动。网球会经历加速——减速——停止，并且速度变换方向，而整个过程只用F=ma就可以表达。

为了更直观地理解加速度，我们设想牛顿正在1958年的一级方程式赛车中驾驶一辆玛莎拉蒂250F。想象一下，这个痴迷于运动的男人坐在史上最棒的赛车里该有多开心。启动引擎的那一刻，牛顿是静止的，而汽车的速度为零，但当他踩下油门时，他会感觉到自己被推向座椅靠背。当牛顿紧张地猛踩刹车时，他又会被力推向方向盘。经过一段时间的练习后，牛顿逐渐掌握了驾驶技术，并以250 km/h的恒定速度沿直线行驶。这时，速度是恒定的，所以不存在加速度，对运动入了迷的牛顿注意到没有任何力在推动他。于是，他断定：只有速度的变化才会使他感受到力，无论是被向后推向靠背，还是向前推向方向盘。相似地，当这辆玛莎拉蒂250F转弯的时候，汽车行驶方向的变化会产生明显的侧向力，有经验的司机能预见到这种力，并向这种力的方向倾斜。

在数学上，“变化”通常用符号Δ来表示。如果我们用X来表示位置，那么ΔX就表示位置的变化。速度正是位置的变化，因此我们可以写成v=ΔX，而加速度a=Δv=ΔΔX=Δ²X。用位置来表示加速度意味着我们可以把牛顿第二运动定律F=ma写成F=mΔ²X。

牛顿方程的预测能力开始显现出来，因为它表明，一个作用在物体上的力决定了物体位置随时间产生的变化。速度正是位置随时间的变化，而加速度是速度随时间的变化。因此，准确地说，速度可以写成时间的函数X（t）。同理，速度和加速度分别是时间的函数v（t）与a（t）。再精确一些说，这个方程应该写成关于时间的变化，所以牛顿方程就变成了：

将牛顿方程写成一个与加速度、速度、位置和时间相关的方程后，我们就可以得到许多信息。

宇宙结构，某种振动模式的结果

我们可以通过4种情形，来理解关于弦的基本物理知识。

情形1：不存在外力。如果不存在外力，那么F=0。假定物体的质量非零，那么，由F=ma可以得出a =Δv=0。这就是牛顿惯性定律——如果没有外力，物体的速度会保持不变。牛顿在驾驶赛车时沿直线行驶就是这种情形。当赛车运动时，它的位置以恒定速度发生变化，我们可以用一张简单的图来描述这种情况。

图像是物理学家拥有的一种精细艺术理念，是一种无价的方程可视化方法，它能揭示出一些函数中隐藏的信息。图像本身就可以被“阅读”。例如，图8-1中的速度图的斜率为零，这立即告诉我们（当然，这需要经过训练），函数不会随时间发生变化——它是恒定不变的。位置图X（t）的斜率在任意一点都等于它的变化率，并由v（t）在那一点的值给出。这是多么有用的可视信息啊！斜率越陡峭，变化率就越大，反之亦然。

图8-1　汽车的速度与位置随时间变化图

情形2：外力恒定。此时，受某个恒定外力作用的物体的牛顿方程为：

如果牛顿能凭借他在精确计算方面的天赋，稳定地踩住玛莎拉蒂250F的油门而不上下摇晃，那么他就在提供一个恒力。方程F=ma告诉我们，汽车将以恒定速度加速。这种恒力产生恒定加速度的现象，正是伽利略从比萨斜塔上扔下铁球时所观察到的景象。在这种情形下，恒力就是重力！

从图像上看，a（t）与之前的v（t）十分相似，因为它也是恒定的，而v（t）与之前的X（t）类似，因为它以恒定速度增加。问题在于，如何找出X（t）的图像。这个问题很有趣，因为它将证实牛顿方程的预测能力，即预测在某个恒力的作用下，汽车在任意时刻t的位置。基于函数在某点的斜率等于它在该点的变化率这个事实，我们可以通过这些图像得到一个理念。例如，在t=1时，我们可以得到v=1，而我们知道X（t）的变化率等于v（t）。因此，在t=1处，变化率或者说X的斜率等于1。同理，在t=2处，我们得到v=2，而X（t）的斜率等于2，余后类推，其数值单调递增。画出这种函数图形，我们就得到了图8-2。

图8-2　X（t）的抛物线图

注：斜度线位于t=1、t=2、t=3处时，X（t）的抛物线会更完美。

接下来的问题就是如何得到函数X（t）的精确形状了。在处理这个问题时，牛顿发现，他所掌握的数学工具远远不够。他需要一种能描述物体在任意特定时刻的运动方式，而不仅仅是在一段时间内的运动方式的工具。莱布尼茨对物理学、语言学和政治学均做出了贡献，此时他也正在德国思考同样的问题。令人难以置信的是，出于想要理解物体在最小可测量变化时的运动的愿望，牛顿与莱布尼茨各自独立地创建了数学的一个分支——微积分，它正是描述变化的数学。

既有的符号被描述瞬时变化率的导数替代，时间间隔t也变成了无穷小的间隔。有了导数，我们就得到了一种新的数学构造，即微分方程。描述一个物体在恒定的外力作用下的牛顿方程就变为：

从图像上看，一个函数的一阶导数是它在某一点的斜率，而二阶导数转变成了函数图像在该点的弯曲程度。我们需要找到满足这个方程的位置函数X（t），以使它的二阶导数在任意时刻都是常数。在这一点上，大多数数学家与物理学家都不吝于根据已有的关于函数及其图像的知识，大胆猜测X（t）的形式。然后，他们会把猜测的结果代入方程，看看是否满足条件，并对其做出相应的调整，直到最终得到一个正确的结果。在这种情况下，最终的结果是一条抛物线，其最基本的形式由X（t）～t²给出。受过一些训练的人都能很直观地看出形式与方程之间的联系。如果已知任意一点X（t）的导数或者斜率，我们就可以得到速度函数，它的斜率以恒定速度增加。再对速度求导，我们将得到恒定的加速度，即a（t）=常数，这与恒力是对应的。

微积分十分重要，因为它表明，一个函数可以由另一个函数根据“描述变化的数学”求导得出，所以这种函数被称为导数。如今，导数已成为物理学、工程学和声学领域最重要的工具之一。从本质上说，通过画出图像，我们不用计算就能得出导数，因为函数的形式——与导数相关的形状、表观斜度（变化率）和弯曲程度，给出了动力学的信息，我们甚至都不用去看那些方程。

情形3：外力不恒定。一个经典的例子是一端系有重物的弹簧。想象一下，我们微微拉动这个重物，然后释放它。重物将会从零开始加速。接下来，想象一下把重物拉得更远一些，重物将会加速得更快。结果证明，这是一种线性关系，加速度与重物被拉离原点的距离X成正比。形式最简单的牛顿定律告诉我们，F与X成正比。牛顿方程变为：

方程中的比例常数包括重物的质量m和弹簧的劲度系数k。这个方程表明，存在函数X（t），它的二阶导数等于自身。

对于系在弹簧一端的重物，无论它是竖直悬挂还是水平置放在光滑的表面上，它的运动都会是简谐振动，或者一种相对于中心平衡位置的振动。如果你能想象出这种运动随时间变化的图像，你就会发现，它的轨迹犹如一条波形曲线。力与物体离开静止位置的距离成正比的所有系统都有着相同的特征，也都满足情形3中的牛顿方程。波形曲线是一个正弦函数，简单地说就是sin，可以写成X（t）=sin（t）¹。如果把正弦函数求导两次，我们就又得到了同样的正弦函数（图8-3）。

图8-3　描述一个系在弹簧一端、相对于平衡位置振动的物体的正弦函数

本质上，前面的方程描述了一个单一的振动粒子，这让我们离困扰着毕达哥拉斯、伽利略、开普勒，甚至牛顿的谜题——弦的振动近了一步，也离理解声波和布莱恩·伊诺的电子合成器更近了一步。我们能从图像中直观地看出，正弦函数可以描述纯粹波的运动。为了更透彻地理解这一点，我们试着把这种振动粒子的例子扩展到连续物体上。

情形4：另一种变力。让我们想象一下拨动一根吉他弦，并且只考虑弦上的一小段。一个简化而精确的描述弦的模型，是想象那些构成弦的原子（微观的质点）彼此之间以弹簧相连。在这种统一的原子链条上，每个原子都独立地相对于一个平衡位置来回振动，正如系在弹簧一端的重物的振动一样。我们用u来表示来回振动的距离。

在情形4中，每个独立的质点都会通过弹簧拖动分布在x方向上的相邻质点，于是，有趣的事情就出现了（图8-4）。

图8-4　弦的运动的放大图

当一个质点拖动一个、一个又一个邻居时，某个波就会沿着弹簧传播，导致每个质点都开始振动，于是这种振动就会在质点之间传播——这是一种传播的扰动。当然，与那些分离的质点不同，弦本身是连续的，所以我们用导数来缩小弦与弦之间的距离。从本质上说，我们描述的是一个连续的实体。想象一下足球场边的球迷形成的“人浪”吧。从远处看，我们只看到“人浪”在球场边流动，而无法分辨出单独的个人。我们与这些球迷的距离就像导数一样运作，把一个球迷与另一个球迷之间的距离缩小到几乎为零。在这种情形下，牛顿方程用一个关于时间与位置的函数u（x，t）描述了整条弦的来回运动，这个函数具有如下的奇妙形式：

由于现在有两个变量x和t，所以存在与这两个变量相关的导数。这个方程告诉我们，弦在某点的弯曲程度（对x的二阶导数）会导致弦在那一点加速（对t的二阶导数），也正是这个方程描述了振动弦的运动。毕达哥拉斯若是泉下有知，想必也会和我们一起欣赏这一非凡的洞见吧。

这个方程的解依旧是一个正弦函数，它有高度（振幅）和波长（一个波峰到另一个波峰的距离）。正弦函数有两种纯粹的形式，即正弦波与它的导数余弦波，而余弦波仅仅是正弦波的平移。一个惊人的事实是，任意数量的正弦函数之和依旧是一个正弦函数。这些波的高度与波长以这种方式相叠加，从而使得波的本质保持不变，并且使解依旧是波的方程。纯粹波的这种可叠加性质就是傅立叶理念，它隐藏在伊诺的作曲方式中，并且告诉我们，振动弦的所有形状都可以通过纯粹波的叠加得到。这意味着u（x，t）的方程不仅描述了一个纯粹波，还可以描述波的所有叠加形式。

傅立叶理念：任何随时间变化的复杂波形（比如复杂的声波），都可以分解为不同频率和振幅的纯粹正弦波之和。

在这个意义上，纯粹的谐波正弦波可以用来制造任何复杂波形，这简直就是魔法。将两颗石子扔进池塘，它们各自产生独立的波形，并且最终会彼此接触。这些波可以彼此干涉，使强度增强或者减弱。如果波峰或者说最高点是一致的，那么它们的叠加就会彼此增强，产生的波会具有相同的频率，但振幅增大。然而，当一列波的波峰恰好遇上另一列波的波谷时，两列波则会彼此相消。

因此，傅立叶变换的核心是波的干涉。雨落池塘时，众多雨滴会产生彼此作用的水波，并在水面上形成漂亮（有时是混乱）的图案。现在我们可以用数学语言来表达傅立叶理念了（图8-5）。简而言之，方程是：

一个随时间演化的复杂波形=一系列正弦波的叠加

图8-5　波的干涉与傅立叶理念

注：A图显示了波的干涉中的增强与减弱。B图通过叠加不同频率的纯粹正弦波表达了傅立叶理念，这些正弦波叠加在一起形成了一个复杂的波形²。

由于复杂的波形可以随时间演化，所以我们称非平凡的（复杂的）信号为函数F（t）。强大、美妙且无所不在的傅立叶变换就是一个数学方程，它可以按照振幅A和频率将F（t）分解为不同的子波。于是，方程如下³：

在图8-5（B）中，我们可以看到波函数F（t）是由等号下方的实线曲线表示的。如图8-5（A）所示，我们可以应用波彼此干涉后强度会发生变化这一性质，通过叠加纯粹正弦波得到波函数。正是应用了这一理念，电子元件才从振荡器中产生了电子音，这是现代电子合成器的关键之处。

傅立叶变换是一种数学运算，通过指定当前的频率与振幅，把复杂函数分解为子纯粹波。我们可以从上图非常清楚地看到这些。傅立叶逆变换是一种逆向数学运算，即在知道各个子波的振幅与频率的前提下，我们可以得到原来的关于时间的复杂波函数。傅立叶变换是物理学、工程学和计算机科学中最常用的工具之一（图8-6）。电路中需要它，在地球和人造卫星之间通过电磁波收发信号的理论基础也是它。傅立叶变换还是理解宇宙结构形成机制的关键。

图8-6　伊诺在他的作品中使用的调频音乐合成技术

现在我们有了探究被称为“共振”的普遍现象的工具。声音、音乐以及量子宇宙中的许多奇迹都离不开共振（图8-7）。萨克斯能否奏出特定的音符，粒子加速器能否产生粒子，都取决于共振的物理学。实际上，共振是物理学中最普遍的现象之一。简而言之，共振是振动能量高效地从一个物理实体传递到另一个物理实体的途径。很多物体都有一个固有频率，尤其是乐器（以及我们即将讨论的量子场），所以在受到扰动时会以一个（或一组）特有的频率振动，这些频率由物体材料的属性决定。关于固有频率，最简单的例子就是系在弹簧一端的重物，仅有的两个参数是质量和弹簧的劲度系数。

图8-7　D大调和弦的振幅-时间图与傅立叶变换

注：左边的信号表示D大调和弦的振幅-时间图。右边的曲线是傅立叶变换，显示了振幅与频率的分解。值得注意的是，在右图中，只需要4种频率就可以重构左图中的波形。这4种频率正是D大调和弦中的4个音符。

把牛顿第二运动定律应用到与弹簧相连的重物上，我们就可以得到有关这个系统“固有”频率的方程。这个方程表明，弹簧的劲度系数越大，系统振动得就越快（因为它的波矢k更大）；重物越重（其质量m越大），系统振动得就越慢。如果一个外力以与固有频率不同的随机频率不断推或拉重物，弹簧依旧会振动，不过它的振幅（重物走过的最大距离）将会变小。而如果驱动力的频率与固有频率相当，则会发生一些不同寻常的事情，即振动的振幅会迅速增大。这正是乐器，甚至粒子加速器的工作机制。

由于弦可以被看作一系列用弹簧连接的质点，所以它具有许多较高的共振频率。实际上，我们是用傅立叶理念推导出这些频率的。乐器被设计成在一组与音阶的各个音符相对应的离散频率上共振，其中的关键之处在于得到一系列驱动频率（比如振动的簧片或者从笛孔流出的气流），并控制乐器中的哪个频率发生共振。例如，在木管乐器中，这是通过关闭乐器上的一个音孔来实现的。

通过傅立叶理念，牛顿运动定律揭开了振动与共振的秘密，我们也因此得以理解复杂的波形是如何产生于简单的波形，并能用简单的波形构造复杂的波形。我们很快就会讲到，傅立叶理念可以应用于4种基本作用力，而且这是理解宇宙结构的关键。在此给读者一点提示：如果宇宙结构是某种振动模式的结果，那么是什么引发了振动呢？宇宙本身是否表现得就像一件乐器呢？