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罗素悖论

19世纪末20世纪初，数学家康托尔提出的集合论逐渐被国际数学界认可，罗素却提出了著名的“罗素悖论”，其矛头直接指向集合论，这无疑给当时的数学界和逻辑学界一锤重击，从而引发了第三次数学危机。

“罗素悖论”不是指罗素理论中的悖论，而是指罗素在进行理论研究（运用康托尔的集合论解决自然数的数列问题）时发现的悖论 [2] 。

在罗素看来，有两类理论——集合论的悖论和语义的悖论——都处于前后自我矛盾的状态。我们暂且不说数学上的专业术语，先给大家讲两个通俗的事例来理解罗素悖论的精髓。

理发师悖论

城里有一位理发师，他的理发店前的招牌上写着这样一段广告语：我只给不给自己刮脸的人刮脸，欢迎大家前来体验。

于是，城里那些不给自己刮脸的人都来找这位理发师刮脸。但此时有一个人的情况比较特殊，这个人就是理发师自己。他自己的胡子长长了该怎么办，他是否要给自己刮脸呢？此时，理发师陷入矛盾之中。

理发师悖论

如果他不给自己刮脸，那么他就处在“不给自己刮脸”这类人中，因此这就符合他自己广告上的规定。既然这符合他广告上的规定，就可以推出“他应该给自己刮脸”。可这不就矛盾了吗？他满足“不给自己刮脸”的前提，却得出了“应该给自己刮脸”的结果。反过来说也是矛盾的。

如果他给自己刮脸呢？因为他自己给自己刮脸，他就没有在“不给自己刮脸”的人群中。既然不符合广告里规定的人群范围，那么他就不应该给自己刮脸。这又自相矛盾了。选择“给自己刮脸”，但推出了“不应该给自己刮脸”的结果。

无论我们怎样推导，都会陷入自相矛盾的境地。

从集合论的角度去理解，将城里的人设定为一个由“所有不给自己刮脸的人”所组成的集合。如果这里面不包括理发师自己，就没有矛盾了。理发师只给“不给自己刮脸的人刮脸”，这不会有任何问题。

但问题在于，理发师也要参与其中。理发师自己归属于设定的“不给自己刮脸的人”的集合吗？如果属于，那么理发师就可以给自己刮脸。但如果理发师给自己刮了脸，也就违背了他自己提出的规则。如果理发师不给自己刮脸，那么他就符合此设定集合的定义，他就可以给自己刮脸了，这就是其矛盾的地方。

“理发师悖论”阐释的是集合论的悖论。

说谎者悖论

还有一个类似的情况就是“语义悖论”，通俗的事例就是“说谎者悖论”。

说谎者悖论

有一个人说：“我在说谎。”那么，这个人到底有没有说谎？

如果他说的是真话，那么他说的“我在说谎”这句话就是真的，因此得出结论：他在说谎。

如果他在说谎，那么他说的“我在说谎”这句话就是一句谎话，这就会推导出结论：他在说真话。

无论如何解释，都是前后自相矛盾，这就是语义的悖论。

罗素悖论的数学形式

S=｛x｜x x｝

设定一个集合S，它由一些元素的集合x组成，这些元素要满足一个条件就是自己不属于自身，即x不属于x，所有自己不属于自身的这些元素的集合，在一起就构成了全体，即一个大的集合S。这里需要强调一下：x不是单个元素，而是所有满足这个条件的集合，因为在集合理论中，集合本身是可以作为元素被包含在一个更大的集合中的。

这个公式就表示出了所有不属于自身集合的集合，所有跟自己不相等集合的集合。

这个时候问题就来了：S∈S？

如果S S，那么S∈S。

如果S不属于S的话，那么就满足集合自身的定义了，这个括号里的x不属于x，那么就可以推导出S属于S，那这就矛盾了。

如果S∈S，那么S S。

如果S属于S的话，但S这个集合的定义是要满足x不属于x这个条件的，也就意味着S也是满足这个条件的，于是就得出：S不属于S。那这就又矛盾了。

这就是罗素悖论的数学形式。

罗素悖论的解决

罗素认为，悖论产生的原因是命题中发生了“自我指涉”的现象。理发师发布了规则，他只给“不给自己刮脸的人”刮脸，“不给自己刮脸的人”也包含他自己，那么理发师也在给自己下论断。“说谎者悖论”也是一样涉及“自我指涉”的现象，自己要遵守自己定下的规则，如此就会陷入无限恶性循环中，就会出现悖论。

于是，罗素提出“类型论”来解决问题。他认为把“类”当作“集合”，容易出现“自我指涉”的情况，于是罗素把“类”和“集合”做了区分。这部分，我们就不展开介绍了。虽然“类型论”可以避免罗素悖论的产生，但并不是解决罗素悖论的唯一方法，并且在逻辑学和哲学领域都引起了很多争议。后来，除了奎因，没有人再把它作为哲学上的工具来使用了。

罗素悖论的提出也促使数学家重新考虑集合论的问题，数学家后来创立了一套公理体系——“ZF公理体系”（ZF是人名Zermelo和Frankel的首字母）——通过设置出若干的定理和定义来规定集合，以规避之前集合论出现的问题。其中有一条“正则公理”，简言之就是把有可能产生“自我指涉”这一类情况的集合，排除在集合之外，从而避开“罗素悖论”问题。

换言之，“ZF公理体系”并没有彻底解决罗素悖论问题，也没有否定罗素悖论，而是设置一个公理，让那些产生“自我指涉”问题的集合排除在集合的范围，从而避开悖论的出现。从这以后，集合论也从朴素的集合论发展到了公理的集合论。